粘弹性有限变形本构模型

由 ｜詈 号 Ｄ—Ｉｌ，ｉ 将 两 联 于 和 ＝Ｖ＝Ｖ ，这 式 Ｄ ｌ Ａ ｎ ｎＩ Ａ
ｏ】 ｄＩ １ ｒ ＾ （ｎ ） １ ｌＶ“一 Ｅ ｎＡ ｄ ＾） 一 层 （ １
・
我们可 以得到 ： （） 立 ， １
分别是率型广义胡克定律和粘性流动 率描述 ， 将应力 客观率 代替应力对时 间的导数 ， 我们可 以得到 ：
部分和粘性部分 ， 到弹塑性材料 的有 限变形本构关系 。 得 本文基于新方法研究 了粘 弹性材料有 限变形 本构关 系 ， 并且 用新方法得到的本构模型计算 了简单剪切变形和已有的模型对 比。
在从 ， 。 一Ｆ 的过程 中： Ｆ＝ 。Ｒ ＝ Ｒ 。 尺 （） ６
其中，
粘弹性小变形 的应力应变关 系， 形成粘弹性有 限变形 的应 力应 变 关系， 即得到 ｏ ｒ ｌ 之 间的关 系。从 而 实现我 们这 个 “ 种 与 ｎ 一
高聚物的粘 弹性本构关 系” 的理论 构架 与数值 计算 相结合 ， 正 真 落到实用 中。这是本论 文的核心所在 ， 理论模 型与数值 计算相 结 合， 进一步论证一种新的粘弹性本构关系。
Ｆ ＝Ｒ ｖ ｉ ，， ） ｆ Ａ （ ＝１２ ３ Ｒ
（） ４
其 中 ， 为左伸 长张量 的特征值组成 的对角矩阵 ； ， 均为
Ｃ ｕｈ ａｅｙ应力物质时间导数 ， 一些学者得到率形 式的共旋有 限变形 正常正交矩 阵。 假设变形梯度是对角矩 阵的变 形产生 对角应力矩 阵 ， 时 刻 ｔ 本构方程 。但 是 ， 我们不知道究竟选择 哪一 种共旋率 对应本 构方
第３ 卷 第 １ ８ ３期 ２０ １２ 年 ５ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣ Ｊ 兀 ＲＥ
Ｖ０． ８ Ｎｏ １ １３ ． ３
Ｍａ ． ２ １ ｙ ０ ２
・４３ ・
文章编号 ：０ ９ ６ ２ （ ０ ２ １ —０ ３ ０ １０ － ８５ ２ １ ） ３０ ４ －２
ｏ为 Ｃ ｕ ｈ ｒ ａｃｙ客观应力率 ， 它的表达形式为 ：
ｒ ｎ。 ｒ ｏ ｏ ＝ 一 ｏ ＋ Ｏ。 ｒ （） ３
若 在 ｔ 时刻未开始时 ， 弹性部分变形完全恢复到 ０ 即此时材 ，
料试件 中无应 力 ， 则此时 的粘性永久变形为 ： ＝ｌ 。 ： △ ｎ ＝ ￡。 接下来开始从 ｔ一￡， 。 ： 即从 Ｆ 一 过程 ， 我们将 ｔ 刻的变 时
Ｖｅ ｌｇ １ ７ ． ｒ ，９ ５ ａ
ｉ ａ ｌＶ２ ＝ ｎ ￣
Ａ ｔ
２
＝
’…
’
＝
一 ’
：
…
、 — ‘
欧拉共旋率和对数共旋率 。
通过将时 间 ｔ ， 此段时 间 ｔ ＝１Ｓ将 分解为 １００份 ， ０ 分别计算
这 １０ ０份时 间内相应 的对数应变 ， ０ 累加这 １００个 时间段 内 ０
粘 弹 性 有 限 变 形 本 构 模 型
卞 忠景
摘
沈 利 君
３５１ ） １２ １
（ 宁波大学 ， 江 宁波 浙
要： 从一种高聚物 出发 ， 对粘弹性有 限变形本构关系进行研究和探 讨 ， 用这种新 的本构关系在理 论上计 算一种高 聚物材 料 利
的有 限变形 ， 并通过对 比分析模拟计算结果与以往结论 ， 展示 了研究粘弹性材料有 限变形本构理论 的新方法。
关 键词 ： 粘弹性 ， 有限变形 ， 高聚物 ， 本构理论
中 图 分 类 号 ：Ｕ １ Ｔ ３３ 文 献 标 识 码 ： Ａ
而 是以无应力 中间构形 度量 的。接下 来 ， 我 从２ Ｏ世纪中期开 始到现 在 ， 力学和 材料 的研究 者们 都关 注 始构形来度量 的， 粘弹性材料的本构理论 。小变形本 构理论 已经 发展 的很 完善 ， 并 们分析各 向同性材料 弹性变形 时的一个特性 。考虑其变形 过程 ：
ｏ
，
１
、
Ｄ：
一
（ｒ ）＋ ｏ ｃ ｒ
ｒ ／
（） ２
ｌ ｎ
＝
１
Ａｔ １
＇பைடு நூலகம்
＝
ｊ ｌ ￣ ｒ ｎＶｘｔ＝ｏａ ｌ
田 ’ 一
（） ８ 、
其 中， 为 Ｐｓｏ ｉ ｎ系数 ；为单位度量 张量 ； （） ｓ ， ｔ 为张量 的迹 ， ｒ
是 产生 的并 与变形 率 Ｄ 无 关 。同时 ， 程 。许多学者都直接选择客观率对应率形式 的本构关 系 ， 而没有 的应力 ， 由变形 率 Ｄ 也不会导致应力的改变。这就是说 ， 纯弹性过 程 中， 在 粘 给 出任何解释 Ｊ 。关 于选择何种 客观率 ， 学界有很 多争论 。在 的改变 ， 科 因此 ， 我们可 以假设 粘弹性 变形 的所 有 研究粘弹性材料的有限变形 本构关系 中， 将应变率分 为弹性应 变 性变形 率 Ｄ 不影响应力 ， 率和粘性应变率也是一个问题。然而 ， 变形梯度 的乘式分解 和应 子过程 中的 Ｄ 都不影响应力的变化 。我们 假设主应 力的控制 方
根据上式我们可以 知道其变形梯度 Ｆ 二 ：， 样我们也知道 ＝ｌ Ｉ 同
本文从一种高 聚物 出发 ， 对粘弹性有 限变形本构 关系进行 研
究 和探讨 ， 对沈利君最近提出的一种新 的建 立本构关 系模 型的途
其形 Ｄ 【 和质率 ＝［ 】 变率 ＝ 】 旋 告 。 告 物 ：
径进行探讨 ， 并且利 用此方 法 ， 对高 聚物材料 试件做 简单 剪切 有
同理我们 可以 由控制方程（ ） ： ６得
ｌＶ ｎ
Ａ一 ｄ＾ 一 ＡＥＡ （） ￣ ２ 古 ＝ｎ ， Ｅ （ ） Ｅｏ Ｉ ， ｊ２ Ｖ １ ｒ ０
＝ ＝
・
４ ４・
一
第３ ８卷 第 １ ３期
２ ２年 ５月 。１ ０
山 西 建 筑
本构模型计算 出来 的， 采用 物质共旋 率 ， 相对共旋率 ， 共旋率 为 ０ ，
将得 出的结果与 现有 的经典理 根据计算 ， 将所得到 的应 力应 变 图像 在 图 １ 图 ２中表 示 出 限变形进行分 析和数值模拟计算 ， ， 来 。对 主应力来说 ， 通过 我们所 计算 的结果 ， 以看 出现有 的本 论模型所 得到 的简单剪切 有限变 形进行分 析和数值 模拟 计算结 可 构模 型得 到的曲线 组包含 推导 的新 的粘弹性 本构关 系所 得到 的 果进行对 比。分析新 的理论是 否 比经典 的方式更 加适 合描 述材
＋ Ｈ
２ 简 单剪切 变形
我们数值模拟的计算模 型分 别以 Ｍａｗ ｌ本构模型 和理论 推 ｘｅ ｌ
动 方 程 可 以表 述 为 ： ｌ Ｘ ＋ ｘ ，２ ，３＝ ＝ ｌ ｋ２ ＝
ｒ１ ｎ ，
剪 切 应 力率 ｋ
图 ２ 不同共旋 率条件下 Ｍａ ｗｅ 模型计算结果｛ ） ｘ ｌ ｌ 二
但是方程 （ ） ３ 存在两个问题 ： 第一 ， 旋率也就是应力 客观率 的 形梯 度分解 为下列 形式 ：
选择 ， 我们不能证 明使用 何种 旋率 。第二 ， 程所 依据 的变形 率 方
粘弹性和式分解与变形梯度粘弹性乘积分解并不一致。 我们将变形梯度表示为 Ｆ＝
１ 一
二
Ｒ ２ ＝（ ２ ６ ）・ 础 ） ６Ｔ ＝ ｅ ６ ２ （ ｊＲ ６ Ｒ６ Ｒ ６ ２ ２
且与实验很好 的契合 ． 。但是 在有 限变形 阶段 ， ２ Ｊ 这些 小变形 理 ，＋ ＿ Ｆ 一 一 … ， 这里 的下标表示 ｔ， ， ｔ ｔ ： ，时刻 。变形梯 度分 解
论都 不适 用。有部分学 者以热力学第 二定律 为基础 ， 研究粘 弹性 为 以下形式 ：
材料的有限变形 ｊ 。众所周 知 ， 有限变形本 构模 型必须满 足可观 性原则 ］ 。用 伸长 张量 代替 应变 率 ， ａｃｙ客观 应 力导 数代 替 Ｃｕｈ
形率度量作为 即时构形来参考 。那么 和小 变形应变 率分解 一样 ， 得到变形率分解为 Ｄ＝ Ｄ ， Ｄ ＋ 这里分解 中三个 分量都是 以 即时 构形作为参考构形来度量 的。对 于分解 Ｆ＝ Ｆ ， ｏＦ和 是 以初
收 稿 日期 ：０ ２ ０ —３ ２ １ － ２１ 作 者 简 介 ： 忠 景 （９ ６ ， ， 读 硕 士 卞 １８ 一）男 在
导得到的新的高 聚物粘 弹性本构 关 系进 行计算 。简单剪 切 的运 ３ 结语
研究 者们针对 粘弹性材料 的本 构关 系 的研 究 已经给 出 了许 （ ２ 多模 型 ， 已做 了许 多 研究 。但 是 ， 于这个 问题 的 最 根本 研 １） 也 关
解决 。
其中 ， Ｘ 分别 为笛卡 尔坐标 系下 的瞬时构形 和初始构形 ， 究——粘 弹性有 限变 形本 构关 系 的研 究 ， 今没 有 得 到很 好 的 ， 至
向研究 者展示 了研究 曲线 图 ， 中客观率分别用物质共旋率 和相对共旋 率。客观率 为 料的本质特征 。本文从 另外 一个 角度 出发 ， 其 物质共旋率的主方 向 ， 我们推荐的本构关 系与现有 的本构模 型二 粘弹性材料有限变 形本构 理论 的新方 法。将变形 梯度 分 为弹性 者接近。
和粘性两部分 ， 应变率分 为弹性部 分和粘性 部分之 和。所 得到 的
从 图 １为在 简单剪切 变形 Ｍａｗ ｌ本 构模 型的主应 力 ， ｘ ｅ ｌ 其剪切 遵循客观应力率的率形式的本构方程 ， 而避免 选择何种 客观应 力共旋率 。 应变率 ｋ ～， ＝１Ｓ 材料参数采用 ＝ ０ ａ ＝１０Ｍ ａ・ 。 １５０ＭＰ ，２ ０ Ｐ Ｓ 参考文献 ： 曲线 １ 是我们所推 荐 的新 的粘 弹性有 限变形 Ｍａｗ ｌ模 型计算 ） ｘ ｅ ｌ ［ ］ Ｆｒ ． ｉ ｏｌ ｔ ｒ ｅｔｓｏ ｐ ｌ ｅｓ Ｍ］３ｄｅ． ｅ １ ｅ ｙＪＤ Ｖ ｓ ｅ ｓｉ ｐｏ ｒｅ ｆ ｏｙ ｒ［ ．ｒ ｄ Ｎ ｗ ｒ ｃ ａ ｃ ｐ ｉ ｍ 出来的 ， 曲线 ２ ～曲线 ６ 是基于现在已有的 Ｍａｗ ｌ本构模 型计 ） ） ｘｅ ｌ 算 出来的 ， 分别采用物质共旋率 ， 相对共旋率 ， 共旋率为 ０ 欧 拉共 ，
旋率和对数共旋率 。
９ Ｏ ８ ０
７ ０
Ｙｏｋ： ｏ ｎ Ｗｉ ｙ，９ ０ ｒ Ｊｈ ｌ １８ ． ｅ
［ ］ Ｆｔ ｇ Ｖｓｏｌ ｔ ｉ ［ ． ｎ ｄ ｅ ｏｋ Ｓ ｒ ｇｒ ２ ｌｇｌ Ｗ． ｉ ｅａ ｉ ｔ Ｍ］ ２ ｄｅ ．Ｎ ｗ Ｙ ｒ ： ｐ ｎｅ— ｉ ｅ ｃ ｓ ｃｙ ｉ
Ｒ （ Ｒ ）・ 础 ）１ ： Ｒ （ Ｉ
根据 式（ ） ９ 和式 （０ 两式 ， １） 我们 可以知道 ：
（） ９
Ｒ ）
， 到速度 梯度 Ｌ＝Ｆ 得 Ｆ。和
Ｒ
是产生应力 Ｒ ： 的弹性变形 梯度 ， （ 尺 且
变形率 Ｄ＝ （ ）如果 Ｆ近似于单位张量 ，我们可以将变 （ 。 ） ÷ ＋ ， ， 础 则被看成是 ｔ时刻的粘性永久性变形度量。 ：
变率 的和式分解不一致 。Ｌｏ ｉｎ推导 出瞬时构形 中 的 Ｇｅｎ应 变 ， 程 是 ： ｒｅ
将它分解为弹 性部 分 和粘性 部分 ， 以此 来研 究 有 限变形 本构 关
系， 并且满足热力学第二定律 Ｊ 。沈利君将 变形梯度分解 为弹性
Ｄ＝ ＋
￡ ． Ｔ ｌ
（） ５
。
。 均为 产 生应 力 Ｒ ｒ 的 弹性 变 形 梯度 ， ｏ Ｒ 而
１ Ｍａ ｗ ｌ有限 变形理 论 ｘｅ ｌ
将 Ｍａｗ ｌ模型推广到有 限变形 ， ｘｅ ｌ 将用变形率 代替应变率 ， 变 形率可 以表示为弹性和粘性变形率部分之和 ， 即为 ：
Ｄ＝Ｄ ＋Ｄ 。
冗 则被看作是永久性粘性变形度量 。