第六章.微分中值定理

第六章微分中值定理及其应用

§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性

教学目标：

1 使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。掌握它的证明方法，了解它在微分中

值定理中的地位。

2 通过知识学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的能力，能用以证明某些有关的命题，

特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。

3 使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某些整体性质，如单调性，有界性等。

4 使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础。

一罗尔定理与拉格朗日定理

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中

值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。

一．极值概念：

1．回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:

定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，

则必有

1、罗尔中值定理：若函数满足如下条件：

（i）在闭区间[a，b]上连续；

（ii）在开区间（a，b）内可导；

（iii），

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得（ξ）=0

（分析）由条件（i）知在[a，b]上

有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。

证明：因为在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：

(i)若M = m , 则在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。

(ii)若m ＜ M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从

而ξ是的极值点，由条件(ii) 在点ξ处可导，故由费马定理推知

=0.

注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少

存在一条水平切线。

注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条

件，定理的结论将不一定成立，见下图：

例

如：

x1=-2:-0.09; x2=-1; x3=-0.99:0.01:1; x4=1:2;

x=[x1,x2,x3,x4];y1=0*x1;y2=NaN;y3=x3.^x3;y4=ones(siz e(x4));

y=[y1,y2,y3,y4]; plot(x,y,'r')

axis([-2,2,-1.2,1.3])

易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在

（-2，2）内存在点ξ, 满足

注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：

x=-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2);

plot(x,y,'r')

axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002])

在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，

显然

在（-1，1）内存在无限多个=使得=0。

2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 f 满足如下条件：

（i）f 在闭区间[]上连续；

（ii）f 在开区间()内可导；

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

（分析）罗尔定理是拉格朗日

中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数，使得

满足罗尔定理的条件

（i）-(iii) 且，

从而推得

证明：作辅助函数

显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点

ξ(a，b)，使得

即

注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例

注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在

该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线与

直线AB

之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平

行于新х轴（F（a）=F（b））。

注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将

一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。

注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特

点，在不同场合灵活采用：

注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出ƒ在

（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且

在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。

中值定理的简单应用: ( 讲1时 )

3、拉格朗日中值定理的几个重要推论

推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数.

证明：任取两点（设），在区间 [] 上应用拉格朗日中值定理，存在

ξ（）I，使得

推论2 函数和在区间I上可导且

推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限

存在，则在点可导，且

证明：分别按左右导数来证明上式成立

（1）任取，在[]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在

ξ，使得

由于＜ξ＜，因此当时随之有ξ→，对上式两边取极限，使得

（2）同理可得