第16讲 量子通信基础理论

的概率（概率密度）
与
的模的平方成正比。
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
1926 年提出了对 波函数的统计解释
波函数的平方是某个态出现的概率，但是为什么薛 定谔引入它，他自己也无法解释，只是用这个方程 从理论推导的结果与实验都是相符合的（有点儿与 普朗克常数的引入相似），因而这个方程是正确的 。而恰恰量子力学用概率的方式描述微观世界是很 多人甚至包括爱因斯坦等大物理学家都质疑的“上 帝不能掷筛子”。所以反映微观世界的规律是概率 性的，这与经典世界完全不同。所以费曼就说对于 量子力学的概率性是不能问为什么的。
|1 |n
五、公设5——复合系统公设
考虑A，B两粒子组成的系统，粒子A用Hilbert空间HA的态矢量
(t) 描 A
述，粒子B利用Hilbert空间HB的态矢量 (t)描B述；A、B组成两粒子系
统，相应Hilbert空间 H AB H A H B 。
如果两粒子没有作用，其态矢量 (t) (t) (t) ，这乘积
第二讲 量子通信的基础理论
主要内容： 一、量子的基本概念 二、量子力学假设（状态空间假设、力学量算符假设、
量子态演化假设、测量假设、复合系统假设） 方法：讲授、启发、讨论 目的：充分理解量子力学的五大基本假设 时间：90分钟
二、量子的概念
1.量子
19世纪物理学家提出的量子概念指出，微观世界中量子是能量的 最小单位，不能再分。
薛定谔想要阐述的物理问题是：微观世界遵从量子叠加原理； 那么，如果自然界确实按照量子力学运行的话，宏观世界也应遵从 量子叠加原理。薛定谔的实验装置巧妙地把微观放射源与宏观的猫 联系起来，最终诞生出这只死活不定的薛定谔猫，结论似乎否定了 宏观世界存在可以区分的量子态的叠加态。然而，随着量子光学的 发展，人们研究各种制备宏观量子叠加态的方案，1997年科学家终 于在离子阱中观察到这种“薛定谔”猫态，即一个被观察的粒子在 同一时间里处于两个不同的状态。
M1 | |1 。同样， b / b 的模为 1，因此这个系数可以忽略，测量后的状
态为|1 。
小结
公设1说明量子力学如何描述系统； 公设2说明量子力学如何刻画物理量； 公设3给出了封闭量子力学系统演化的动力学方程； 公设4给出获取量子系统信息的测量理论； 公设5描述如何描述符合量子系统。
一、公设1——量子状态假设
按薛定谔的表述，量子力学第一条公设为：量子力学
系统的状态用波函数 (r,t) 来描述。它来源于实验中显
示的微观粒子具有波动特性。
(r,t)
i ( pr Et )
Ae
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数
为
，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
A exp[i2
h
( xpx
Et)]
(x, y, z,t) 2 d 代表t时刻，粒子出现在空间某点(x, y, z)附近微体积元d
(d dxdydz)中的概率， (x, y, z,t) 2 代表t时刻，粒子出现在空间某点(x, y, z)
处的概率密度。
波函数与微观粒子的状态
➢ 微观粒子的状态用波函数来描述, 波函数是坐标和时间的函 数，不含时间的波函数称为定态波函数。
（2.6）
式中，算子U (t0,t) 称为演化算子。
U
(t0
,t)
e
i h
H
t t0
很明显，演化算子由薛定谔方程中的 Hamilton 量所决定。
五、公设5——复合系统公设
复合系统假设为： 假设 5：对于由两个以上不同物理系统组成的复合量子系统，其状态空间是 分系统状态空间的张量积。设分系统 i, (i 1, , n) 的状态为 | i ，则整个复合 系统的总状态为
1 2i
3i
1 2i
若对于状态 1 和 2 ，算符 Fˆ 满足
Fˆ(c1 1 c2 2 ) c1Fˆ 1 c2Fˆ 2
其中，c1 ，c2 为常数，则 Fˆ 称为线性算符。
在量子通信中，下列4个矩阵是非常有用的矩阵，它们都是
2×2的厄米矩阵，有时也分别写为Iˆ, Xˆ,Yˆ,Zˆ ，其中Iˆ 为单
薛定谔的问题还可以进一步扩展为：宏观世界中是否存在量子 效应？事实上，大量实验事实都肯定地回答了这个问题。最近几年 引起广泛兴趣的玻色爱因斯坦凝聚的实验研究进展更有力地证实了 宏观量子效应。
一、公设1——量子状态假设
按狄拉克的表述，公设1：任一孤立的物理系统，将对应 一个矢量空间，它是一个复空间（Hilbert空间），系统状 态将由这空间中的一个单位矢量表示。
定态
几率密度与能量不随时间改变的状态
狄拉克引入符号“ ”（右矢，ket）表示系统的状态， 其转置共轭表示为“ ”（左矢，bra）。
就可以表示系统的一个量子态，可以认为其等价于(r,t)
一个二维的ຫໍສະໝຸດ Baidu态空间，这个空间的基矢为 和0 ，1其中
0
1 0
1
0 1
因此，任一个态矢量可以表示为
0 1
2
为复数，且
2
1
利用状态空间的线性性质，可以简单证明在量子信息 中非常著名的单量子态不可克隆定理。
0
的概率是
p(0)
|
M
0
M
0
|
| M0
|
2 ，测量后系统的状态为，
M0 | 0
四、公设4——量子测量假设
由于 a / a 的模为 1，因此系数可以忽略，测量后的状态为 | 0 。同样，测量结果
为 1 的概率是 p1 | M1M1 | | M1 | 2 ，测量后系统的状态为
基于上述波函数的描述，如果 1(r,t), 2(r,t), , n(r,t)
是体系的可能状态，则它们线性叠加得出的波函数
(r,t) c11(r,t) c2 2(r,t) cn n(r,t)
n ci i(r,t)
i
也是体系的一个可能状态，这称为量子力学的态的叠加原理。
➢总之，量子世界的粒子不再遵从经典力学，而是量 子力学
1.2.1 波函数与微观粒子的状态
假设1 对于一个微观体系，它的状态和由该状态所决定的
各种物理性质可用波函数(x, y, z, t)表示。
(x, y, z, t)包括体系的全部信息，决定着体系全部可观测的性质。
平面单色光的波动方程：
A exp[i2 (x / t)]
ph/ E h
单粒子一维运动的函数：
量子， 并不是一种具体粒子，而是物理学中基本能量粒子的统称 。量子的观点认为分子、原子、电子等微观粒子都是量子的表现形 态。
对于光子，或者说光量子，在具有粒子 性的同时也具有波动性，即光也是一种 电磁波，具有特定的振动方向，在传播 过程中具有偏振特性，而这个特性将被 应用于本文的量子通信。
量子世界的奇妙性
运动状态
波函数
三、公设3——量子态演化假设
演化假设描述量子力学系统的状态随时间的变化规律。如下所述：
假设 3：封闭量子系统的演化可表示为：
ih d H
dt
（2.4）
上述方程是由薛定谔发现的，所以称为 Schröbdinger 方程。式中，h h2 ，h 称 为 Planck 常数。H 是一个厄米算子，称为系统的 Hamilton 量。
➢ 量子力学处理的是不可观测量 (x,t)。 2是概率。
➢
反映自然界的基本规律是概率性。
➢ 经典世界的基本规律是确定性。
态叠加原理
量子系统的状态表示为
i 是概率幅，测量会使系统塌缩到其中一个本征态 i 上， 其概率为 i 2 。
经典粒子在某个时 刻只能处于确定的 物理状态上
量子粒子则可以同 时处于各种可能的 物理状态上（叠加 态）
叠加原理来源于薛定谔方程是线性的。于是有物理学家就 认为世界是处于叠加状态的，而很多学者表示反对，包括 薛定谔，他认为微观世界是叠加的，而宏观世界不行。
“薛定谔猫” ——宏观量子叠加态
t
1 2
死＋ 活
测量的重要性，影响了系统 的状态。
人们陆续观察到了宏观的“猫态”——量子叠加态： 例如：超导现象、波色爱因斯坦凝聚等
M
m
M
m
I
，
m
这些算子作用在被测系统状态空间上，下标 m 表示可能的测量结果。若测量前量子系统的状态
是 ，则测量后得到结果 m 的概率为
测量后系统的状态为
p(m) MmMm ，
Mm | 。
M
m
M
m
显然，完备性方程等价于所有可能结果的概率之和为 1，即
p(m)
|
M
m
M
m
|
1。
m
若取
A
A11
A21
A12
A22
则 AB
B
B11
B21
B12
B22
五、公设5——复合系统公设
若两系统之间有作用，这时系统状态不再是两子系统
的直积态，而是处于纠缠态（Entangled State）。
若两粒子分别对应两量子态 0 和 1 ，在对应的纠
缠态分别为
1 ( 0 1 1 0 )
二、公设2——力学量假设
假设2：量子力学中，任意实验上可以观测的力学量F可
由一个线性厄米算符 Fˆ 描述。
若A为算符，其共轭转置为 A，† 若 A A†，则称该算符是厄米的。
记矩阵的厄米共轭为 A† [A]T ，其中*表示复共轭，T表示
转置运算，如
2 i 3i 2 i 1 i
1 i
AB
A
B
为张量积，这个态称为直积态。
五、公设5——复合系统公设
下面给出张量积与直积态的分量表示：
若取
1 2
，
1 2
，则
1 2
11
11
22
22
考虑量子比特两态 0 01，1 10，则
0
01
01
1
1
1
相应的算符为矩阵张量积。
0 1
0 0
五、公设5——复合系统公设
三、公设3——量子态演化假设
若给定系统的 Hamilton 量和 t0 时刻的初态 0 ，则通过求解方程（2.4）即
可得到任意时刻 t（ t t0 ）量子态的值，即
t
e
i h
H
t
t0
0
（2.5）
由（2.5）可见，量子态 t 的演化过程可以用一个算子U (t0,t) 来描述，即
t U (t0 ,t) 0
AB
2
AB
AB
1 ( 0 1 1 0 )
AB
2
AB
AB
1 ( 0 0 1 1 )
AB
2
AB
AB
1 ( 0 0 1 1 )
AB
2
AB
AB
这4个纠缠态在量子通信中有重要的作用，称为Bell态。处在 Bell态的两纠缠粒子称为EPR对。
四、公设4——量子测量假设
要从量子系统获得信息，必须对其进行测量，测量的结果与选择的测量算子有关， 假设 4：对于一组测量算子{M m}，其满足完备性方程
m
（2.7）
四、公设4——量子测量假设
上述测量称为一般测量。
对于量子态 | | 0 |1 ，定义测量算子 M 0 | 0 0 |和 M1 |1 | 1 | 。
这两个测量算子都是厄米算子，并且满足
M
2 0
M0
，
M
2 1
M1 ，且满足完备性
方程：
M
0
M
0
M
1
M
1
M0
M1
I
。则测量结果为
设有输入量子态 和 ，初始状态为标准纯态 s
由U（ s ） ，U（ s ） ，得 U[( ) s ] ( )( ) 2 2
另外，又有 U[( ) s ] U( s ) U( s ) 二者矛盾，所以量子态不可克隆。
经典粒子
特性：每时刻的位置、速度完 全确定，有确定的运行轨迹， 遵从牛顿力学。
微观粒子
特性：同时具有波动性和粒子性 设想空间有一个微观粒子，任何 时刻有可能在空间中任何点探测到粒 子（类似经典波的特性）， 但一旦探 测到只能在其中一个探测器处发现该 粒子（类似经典粒子的特性）。
A
B C
量子世界的怪异性
经典世界
空间定域
量子世界
非定域（概率分布）
经典世界
运动确定轨迹
量子世界
同时经由各种轨迹传送
量子力学基础知识
2.1 量子力学基本假设
微观粒子不仅表现出粒子性，而且表现出波动性，它 不服从经典力学的规律，必须用量子力学来描述其运动规 律。量子力学建立在若干基本假设的基础上，这些假设与 几何学的公理一样，不能用逻辑的方法加以证明。但从这 些基本假设出发推导得出一些重要结论，可以正确地解释 和预测许多实验事实，于是这些假设也被称为公理或公设。
位矩阵，Xˆ,Yˆ,Zˆ 为泡利（Pauli）矩阵。
I
1 0
10, x
0 1
01, y
0
i
0
i,
z
1 0
0 1
经典力学
量子力学
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念
是否存在一个 量子力学方程
根据某种条件可求出微观粒子的