应用随机过程43更新定理

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源自文库然，定理4.3 中M(t)，m(t)满足的积分方程是 更新方程的特殊情况.
我们既然给出了一个更新方程，自然要问：这样的方程 有解吗？有的话，是什么呢？解唯一吗？
定理 4.4 考虑定义4.2中的方程()，如果H(t)为有 界函数，则方程存在唯一的在有限区间内有界的
解(局部有界解)：
K(t) H(t) t H(t-s)dM(s)， (**) 0
dM(t) 1
limt lima
a
limt
dt
.
即当t很大时，
dM (t) : 1 dt.
因为 h(t)dt ,故h(t) 0(t ). 0
所以我们可以讲当t很大很大时，对h(t-s)主要 考虑t-s比较小的部分，即x比较大的部分.
因此，
t
t
1 1t
h(t x)dM (x) h(t x)dx h(x)dx
4.3 更新定理
本节主要介绍三个重要的更新定理，他们是更新理论的 基本结论，并有着广泛的应用.
回忆Poisson过程的第三定义(定义3.3):
强度为的Piosson过程的相邻两个事件的间隔时间Xn服 从参数为的指数分布，且其更新函数 M(t) EN(t)=t.
由此，
M(t) 1 1 . （＊）
假设存在另外一个有界解K1 ( t )，只需证K ( t )=K1 ( t ). 由（*）方程得
从而可得 K1(t) H(t) F* K1(t),
K(t) 进而有
K1(t) F*（K-K1）(t)，
K(t) K1(t) Fn *（K-K1）(t)，n N.
因为M(t)=
故
n=1
Fn
速率.
(2) 如果X是格点的，更新只能发生在d的整数倍处， 从而更新次数依赖区间上形如nd的点的数目，而同样 长度的区间内含有此类点的数目是可以不同的，故
(1)不成立了.
本节的最后一个更新定理——Smith关键更新定理，它 是与定理4.6等价的.
定理 4.7 （关键更新定理）
记 EXn，并设函数h(t), t 0，且满足
具有这种性质的最大的d，称为X的周期.
注：由该定义知，X是格点的，意指X只能取某个非负数d的整数 倍(显然是离散的)，但并不一定把全部的nd（n=1，2，…）都取 遍. 例如，X取值为1，3，4，6，7，9，10，则它是挌点的，周期 为1.
定理 4.6 (Blackwell 更新定理)
记 EXn.
=H(t)+(
n=1
Fn
)*H(t)
=H(t)+F*H(t)+(
n=2
Fn
)*H(t)
=H(t)+F*H(t)+( n=2(Fn-1 * F))*H(t)
=H(t)+F*[H+（
n=1
Fn）*H](t)
=H(t)+F*K(t)
=H(t)+ t K(t-s)dF(s). 0
最后证明解的唯一性.
(t)＜，所以 lim ｎ
Fn
(t)
0,
对t
0.
K(t) 即
K1
(t
)
lim
n
Fn
*（K
-K1）(t
)
0，
K(t) K1(t).
前面我们讨论了更新方程的定义及其解的存在性问题， 现在我们考虑它的一个应用，即
Wald 等式
(1)h(t)非负不增；(2) h(t)dt＜. 0
H (t)是更新方程H(t)=h(t)+H F(t)的解.那么
(Ｉ)．若F不是格点分布，有
limt
H
(t)
1
h(x)dx, ．
0
(ＩＩ)． 若F是格点分布，对０ c<d,有
limn
H (c
nd )
d
n0
h(c
nd ),
．
其中M(t)=
n 1
Fn
(t)是分布函数F(t)的更新函数.
证明思路：先证K(t)的有界性，再证它的确是方程 (*)的解，最后证明其唯一性.
证明：由H(t)的有界性知，对任意有限区间[0,T], 都有 sup | H(t) | .再由定理4.2知，M(t)在区
t[ 0,T ]
间[0,T]上单增且有限. 所以
由 平均上频述率定. 理知，当t 时，M(t) t ，M(t+h) t+h ,
这里的h>0是任意的．我们猜想：
M(t+h)-M(t) t+h - t h .
Blackwell 更新定理
为了叙述Blackwell定理，我们引入一个概念:
定义4.3 (格点分布) 随机变量X称为格点的，若
存在d 0，满足 P(X=nd)=1. n0
T
sup | K(t) | sup | H(t) | sup H(T-s)dM(s)
t[ 0,T ]
t[ 0,T ]
0
t[ 0,T ]
sup | H(t) | [1 M(T)] ,
t[ 0,T ]
从而有界性得证.
下证(**)表示的K(t)正是方程(*)的解.
K(t)=H(t)+M*H(t)
t
1 EXn
推广：对于Poisson过程有(*)这种性质，那么我们自然 会问：一般的更新过程也有类似的性质吗？
定理 4.5 ( Feller 基本更新定理)
记
=EX
，则
n
lim M(t) 1 ，若 ,则 1 0.
t t
寄语：在离开原点很长时间后，单位时间内发生更新的平均次
数 1/
1/
是 ，这在直观上是容易理解的，因为 表示的就是更新的
(1) 如果F不是格点分布，则对一切 a 0，
当t 时， M(t+a)-M(t) a .
(2) 如果F是格点分布，周期为d，则当
n 时，
P(在nd处发生更新) d .
Blackwell 更新定理的直观意义：
(1) 在远离原点的长度为a的区间内，更新次数的期望
是
a
， 因为这里的
1
是长时间后更新过程发生的平均
论述一下定理4.6与4.7的等价性.
我们仅仅考虑F不是格点的，先取一个满足定理4.7的函数h(t):
h(t) 1, 0 t a; h(t) 0, t a，
将其代入定理4.7中的更新方程，有
t
t
H(t) h(t) h(t s)dM (s) dM (s).
=M(t)-M0(t-a).
ta
又由于 H(t)
1
a
h(x)dx ,
0
综上， M(t)-M(t-a) a .
反过来，由Blackwell更新定理知，对任意的 a>0,
M (t a) M (t) 1 （t ）,
a
从而，
lima
limt
M
(t
a) a
M (t)
1
.
我们假设极限次序可交换，有
M (t a) M (t)