苏教版选修(2-2)1.2《导数的运算》word学案

1.2导数的计算
1.2.1几个常用函数的导数
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础知识基本技能
基础知识1定义法求几个常用函数的导数 函数 y=f(x)导函数 f (x) = y = lim lim fl 推算得：
常见函数
f(x) =x f(x) =x 2 f(x)」
x
f(x)二 x
基础知识2基本初等函数的导数公式
f (x . ：X)-
f(x)
)
'
1 口
f (x) = lo
g a xf (x) = (a = 0且a^1 xln a
1 f (x) =
x
熟记以上8个基本初等函数导数公式。

求一个函数的导数可以利用导数定义求解，还可以直接转化为基本初等 方法更简单更常用。

基础技能3导数的四则运算
1.函数和（或差）的求导法则:
f(x) _g(x) f (x) _g (x)
[f (x) g(x) I - f '(x)g(x) 一 f (x)g '(x)
明确函数的运算形式选择适当的导数运算法则。

综合方法解题能力
综合方法4方程思想一一研究切线问题
在曲线方程中有关切点问题时，若切点未知，通常要设出切点的坐标，然后利用方程思想列出有关的方程求 而不求继续求解。

方程思想在研究复杂的曲线问题时通常要设出一些量，设而可求、设而不求研究问题，并结合结合数形结合
3.函数商的求导法则: 严)L
f(x)
g (x)f xM x )(g(xT
ig(x) f
推论：Cf (x) I - cf
(x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） y = f (x) =e x
' x
y -e
f (x) Jo
g a X
f (x) = I n x
2.函数积的求导法则:
解题能力5能清函数的式子的特点灵活求导
明确函数的结构形式：属于那种函数四则运算，函数是否是复合形式。

是公式法求导的关键，并且要熟记基
应用的基础，一定要熟练掌握。

能力拓展知识迁移
能力拓展6复合函数的导数
般地, 设函数u= :(x)在点x处有导数u'x = '(x),函数y= f(u)在点x的对应点u处有导数y'u=f '(u), 导数，且y'x = y'u • u'x・或写作 f 'x ( (x))= f '(u) '(x).
复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量
复合函数求导通常引入中间变量利用换元法求解，熟练后，中间步骤可省略不写。

能力拓展7 公式法求导在求切线方程中的应用
求导有两种方法（一）定义法，（二）公式法，求切线方程是要明确该点是否切点。

若是切点直接利用直线方
程
否则设出切点利用方程思想求解。

课本同源8切线方程问题
sin x
题目：求曲线y 在点M（；0）处的切线方程.
x
（见教材p18习题第7题）
解析：这属于求切线方程问题。

首先利用商的求导公式求出导函数程就
可写出切线方程。

f （x）再利用导数的几何意义求出切线的斜率
(sinx)次一(sin x) xcosx-sinx
解：y -
-二-0
二2 2
x
=-1 .切线方程为y - 0 = - 1 (x -
二) 兀兀
x2
考题(2010)陕西•设曲线y=x n4\n^N *)在点(1, 1)处的切线与x 轴的交点的横坐 标为X n ,令a n =lgx n ，则 印• a 2亠■亠a 99的值为 答案：-2
解析：点(1，1)在函数y=x n
hn^N *)的图像上，”；(1,1 )为切点，
y =x n1 的导函数为 y 、(n 1)x n = y'|x4= n 1= 切线是：y-1 = (n 1)(x-1)
令y=0得切点的横坐标：
n
人「n 1 , ,12
98 99 , 1 c
a 1 a 2 ... a 99 =lg X 1X 2...X 99 =lg …
lg 2
2 3 99 100 100
考题2 (09全国)已知直线y=x+1与曲线y = ln(x - a)相切，贝U a 的值为(B )
(A)1
(B)2
(C) -1
(D)-2
解:设切点 P(x 0,y 。

)，则 y ° =冷• 1,y ° =ln(x ° • a),又；
y 良
乩
-x 0，a = 1. y 0=0,x 0=-1・ a = 2.故答案选 B
考题3 (09福建)14若曲线f(x)二ax 3
l nx 存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 取值范围
是 ______________ . 【答案】：(-=0)
' 2
1
解析：由题意可知f (x) =2ax ■，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以
x
2
1
— 1
2ax
0二 a 3 (x 0)= a (Y ，,0) x 2x
即学即练•巩固提升
1.已知函数f(x)= sinx +lnx ，贝U f ' (1)的值为(
)
A . 1 - cos1
B . 1 + cos1
C . cos1 - 1
D .—
1 — cos1
1
1 X 。

a
解析：选 B.因为f' (x)= cosx + -，贝U f' (1) = cos1 + 1.
X
2.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s= ；t3—；t2+ 2t，那么速度为零的时刻是( )
A . 0秒
B . 1秒末
D. 1秒末和2秒末
解析：选 D. •/ s= 3t3—；t2+ 2t, • v= s' (t)=t2—3t+ 2，令v = 0 得，t2—3t + 2 = 0 , 解D爲
144
解析：选D.易知点T为切点，由f' (1)= 2,故切线方程为：y= 2x-7，其在两坐标轴
6
的截距分别为1；,—6,
故直线与两坐标轴围成的三角形面积S= |—1|=*4.
6. (2009年高考安徽卷)设函数f(x)= ^3氏3+衍;0s \2+ tan 0其中0€ [0,为，则导数f' (1)的
取值范围是( )
A . [ —2,2]
B .
C . [ 3, 2]
D .
解析：选 D. ■/ f' (x)= sin 0x2+〔 3
5 n n >■ n 3 n
12]，• 0+ 3 [3， 4].
•- sin( 0+ n €, 1]. • 2sin( 0+ 才)€ 血,2].
7.已知曲线C: y= Inx —4x与直线x= 1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方
程是
答
案：
3x+ y+ 1 = 0
得t1= 1 , t2= 2.
3 •下列求导数运算正确的是
1 , 1
A . (x + )' = 1 + 2
\ X，x
2
D. (x cosx)' =—2xsinx
1 1
解析：选B.(x+壬)'=1 —子，A
(Iog2x)'
1
xln2
C . (3x)) = 3x log 3e
错; (3丫
x
=3 ln3 , C 错；(x2cosx)' =2xcosx-x 2sinx,
D错；
故选B.
4.已知二次函数f(x)的图象如图所示,
的图象大致形状是( )
则其导函数f' (x)
B
2
y = ax + b(a<0, b>0)，则y ' = 2ax,
曲线y= ；x3+ ；x2在点T(1,》处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(
49 49
18 B. 36
解析：选B.设二次函数为
13,1-
又••• a<0,故选 B.
A.
3 2'
)
49
C.72
[；2, . 3]
[V2, 2]
cos •, ••• f' (1) = sin 0+V3cos 0= 2sin( 0+-~). •/[0,
3
解析：由题可解得P(1, —4),则由y' =1—4可得曲线C在P处的切线斜率为k= y' |x
x
=1 = —3,
故切线方程为y—(—4) = —3(x—1)即3x + y+ 1 = 0.
1
8.已知函数y= f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y= 2x+ 2,贝U f(1) + f' (1)
答案：3
解析：由已知切点在切线上，所以山)=2+2=2,切点处的导数为切线的斜率，所以
1 f' (1) = 2,所以f(1) + f' (1) = 3.
9 .下列图象中，有一个是函数f(x) = ；x3+ ax2+ (a2—1)x+ 1(a € R ,a丰0)的导函数f' (x) 的图象，贝U f( —1) = ____ .
⑴⑵(3) 糾
1
答案：—1
解析：Tf' (x) = x2+ 2ax+ (a2—1)，二导函数f' (x)的图象开口向上.又■/ a丰0,其图象必为第三张图.
1 1
由图象特征知f' (0) = 0，且一a>0, ••• a =—1•故f(—1) = — - — 1 + 1 =—-.
3 3
X
10.(09宁夏7)曲线y=----------- 在点(1 , —1)处的切线方程为( )
x -2
(A) y=x — 2 (B) y= —3x+2 (C)y=2x — 3 (D)y= —2x+1
【答案】D
x —2 —x —2
【解析】y'= 2二2，当x= 1时切线斜率为k = — 2
(x-2)2(x-2)2
n
11.设正弦函数y= sin x在x= 0和x=—附近的平均变化率为％, k2，贝U %, k2的大小
2
关系为( )
A.k1> k2
B. k1< k2
C.k1= k2 D .不确定
【答案】 A
兀
【解析】Ty= sin x ,「.y ' = (sin x) '= cos x , k 1 = cos 0 = 1, k2= cos—= 0 , ••<1
2
> k2.
12.曲线y= e x在点(2 , e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
9 2 2 2e2
A. —e2
B. 2e2
C.e2
D.—
4 2
【答案】 D,
【解析】•••点(2 , e 2)在曲线上,
x=2
=e 2 •切线的方程为 y — e 2= e 2(x — 2) •即
=0.
14. ___________________________________________________________________ (2009江•苏，)
在平面直角坐标系 xOy 中，点P 在曲线C : 象限内，已知曲线 C 在点P 处的切线斜率为2，则点P
的坐标为 _____________________________________________________________ . 答案：(—2,15)
解析 设 P (X 0, y °)( X 0<0)，由题意知:y | x =x0= 3x 0 — 10= 2,「. x °= 4. •- x °=— 2,「. y ° = 15. • P 点的坐标为(—2,15).
分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切 线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点 P 处切线的斜率，再根据点斜式求出
与切线垂直的直线方程.
二一sin —
3 2
2
过点P 且与切线垂直的直线的斜率为——，•所求的直线方程为
x -一 ［，即 2x-』3y -竺 3 = 0 .
3 3 2
与两坐标轴的交点坐标为 (0，— e 2) , (1,0), 填空
13.求曲线y =sinx 在点 A(_ 6 1
,1
)的切线方程 2
答案：6 3x -12y 6 -
=0
y = (sin x) = cosx
y
ix 訂
cos
6
所求切线的方程为
y-1 J 3
— ),
2 2 6
6 3x -12y 6 - 3 ：
=0 y = x 3
— 10x + 3上，且在第二
15.求过曲线y 二cosx 上点P
3，1且与过这点的切线垂直的直线方程.
解：打 y=cosx ,
••• y" = —sin x.曲线在点 P — ,丄j 处的切线斜率是 13 2丿
说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义•在确定与切线垂直的直线方程
P 垂直于切线的直线斜率不存在.
16. 求下列函数的导数：
12
1 5丿 ~3
1 • y=x ； 2. y 4 ； 3. y x .
x
分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整•函 数y
和y =5
X 3
的形式，这样，在形式上它们都满足幕函数的结构特征，
可直接应用
x
幕函数的导数公式求导.
=(x 1 厂(x 2) (x 1)(x -2/1 (x+3) + (x+1 ) (x+2)
2
=(x+2+x+1) (x+3) + (x+1) (x+2) = (2x+3) (x+3) + (x+1) (x+2) =3x+12x+11.
= (1—3x)‘.设 y = u 4, u = 1- 3x ,则 y'x = y'u • u'x = (u 4
几• (1 - 3x)'x
11-3x 丿 '
―5
—5
=-4u • ( — 3) = 12u
时，应注意考察函数在切点处的导数
y 是否为零，当y'O 时，切线平行于x 轴，过切点
解: 1. y J (x
12
) J 12x
12
」T2X
11
.
”
鼻*
上
4
y = (x ) = ( —4)x 4x 5 . x 3 _2
y =(5. x 3) =(x 5
)
5
3」 _ 3
二 55 x 2 .
17.
求下列各函数的导数：
Jx +x 5
+si nx y 二 x 2
(2 ) y = (x 1)(x 2)(x 3);
1
-3x
的导数.（4） 求 y = ln(2x 2
3x 1)的导数.
1 x 2
x 5
- sin
x
3 2
3 sin x
2 二
X 2亠X 亠 2
x
x
5
=(x 2
) "px 3
) "+(x°sin x)" =—3
x
2 2
3 2 2
方法一 y= (x +3x+2) (x+3) =x+6x+11x+6, A y ' =3x +12x+11. 方法二 y = (x 1)(x 2)l(x 3) (x 1)(x 2)(x 3)
解:
(2)
2 3x 2 —2x^sinx x'cosx.
(3 ) y =
_12(1—3x) _(I_3X)5
1 4
(4)解：
y
2
1
(2x 2
3x1)
4 3
2x 2
3x 1
2x 2
3x1
2
18.
求曲线y=2x -1的斜率等于4的切线方程.
y 0 =1，故切点P 的坐标为(1, 1). •••所求切线方程为 y —1 = 4(x —1)
即 4x _ y _3 = 0.
19.
已知函数
f(x)=
(1) 求使直线I 和y = f(x)相切且以P 为切点的直线方程； (2) 求使直线I 和y = f(x)相切且切点异于 P 的直线方程.
解：(1)由f(x)= x 3- 3x 得，f (x) = 3x 2
- 3，过点P 且以P(1 , - 2)为切点的直线的斜 率
f '⑴=0,
•••所求直线方程为y =- 2;
2
(2)设过 P(1 , - 2)的直线 I 与 y = f(x)切于另一点(X 0, y °)，则 f ' (X 0)= 3x 0 — 3. 又直线
过(X 0, y 0), P(1, - 2),
3
y °- (— 2) X 0 — 3x ° + 2 X 0-1 X 0— 1 ，
又
X0
l
-
3X
o + 2
= 3X 02
- 3, X 0— 1
即 X 03
— 3x 0+ 2= 3(x °2
— 1) (x 。

一 1),
1
解得X 0= 1(舍)或X 0= — 2’
1
9
故所求直线的斜率为k = 3 X (4- 1) = -
4,
••• y - ( - 2) =— 9(x - 1)，即 9x + 4y — 1 = 0.
解：设切点为 P(x °,y 。

),则 y =(2x 2 -1) =4x , • yjxm =4 ,即 4冷=4 , •冷=1
x =x o 当x
=
1时， x 3
— 3x 及y = f(x)上一点P(1 , - 2)，过点P 作直线I.
故其斜率可表示为。