常染色体遗传方式建立遗传数学模型

常染色体遗传方式建立遗传数学模型

1．问题分析

常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因A 和B 控制的，那么就有三种可能的基因型：AA ，AB 和BB .

问题：某植物园中一种植物的基因型为AA ，AB 和BB .现计划采用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况.

2．模型假设 （1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A 或B 是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表5－1.

故第n 代中AA 型的基因的植物是由n-1代中的AA 型和Aa 型植物产生的；第n 代中Aa 型的基因的植物是由n-1代的Aa 型和aa 型产生的；第n 代中没有aa 型植物。

(2) 以n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中基因型为AA ，AB 和BB 的植物总数的百分率，

)(n x 表示第n 代植物的基因型分布，即有

,)

(⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n n n n c b a x ,2,1,0=n (1) 特别当n =0时，T c b a x ),,(000)0(=表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取各种基因型分布)，显然有.1000=++c b a

3．模型建立

注意到原问题是采用AA 型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列.

根据假设2），先考虑第n 代中的AA 型。由于第n 代要得到AA 型的情

况为：

1°第1-n

代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；

2°第1-n 代的Aa 型与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为2

1

；

3°第1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。因此，

当1,2,n

= 时，有

1111

102

n n n n a a b c ---=∙++∙------ ①

同理，有

111

2

n n n b b c --=+ ------ ②

0n c = ------------- ③

将①，②，③式相加,得

111n n n n n n a b c a b c ---++=++---- ④

将④式递推，并由假设1），可得

0001n n n a b c a b c ++=++=

将①，②，③式联立，并用矩阵表示，则有

,2,1,)1()(==-n Mx x n n ---- ⑤

其中

110210

1200

0M ⎡

⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(

由⑤式进行递推，得第n 代基因型分布的数学模型

()(1)2(1)(0)n n n n x Mx M x M x --==== ---⑥

它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M 确定。

4．模型求解

这里的关键是计算n

M .为计算简便，将M 对角化，即求出可逆阵P ，使Λ=-MP P 1

，即有

1-Λ=P P M

从而可计算 1

-Λ=P P M n

n

),2,1( =n

其中

11

22330000n

n n

n D λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

其中Λ为对角阵，其对角元素为M 的特征值，P 为M 的特征值所对应的特征向量.分别为

,11=λ 2

12=λ，03=λ

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,011,001321p p p

故有

1100210111,0211-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ΛP P

即得

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1002101110211100210111n

n

M ⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

--=--00021210211211111n n n n

于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--00011

)

(0

00

21210

2112111c b a c b a x n n

n n

n n n n

000001001112211220n n n n a b c b c b c --⎡⎤++--⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

或写为

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

=+=--=--0)21()21()2

1()21(10

10010n n n n n n n

c c b b c b a 由上式可见，当∞→n 时，有

0,0,1→→→n n n c b a

即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA 型，AB 型的极少，BB 型不存在.

5．模型分析

特别是将具有相同基因植物相结合，

即基因型为AA 和基因型为AA 的植物作为母体和父体，基因型为Aa 基因型为Aa 的植物作为母体和父体，基因型为aa 和基因型为aa 的植物作为母体和父体，那么后代具有三代基因型的概率如下表：