高中数学：弧度制

A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
4
圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比.
B
B
l=R
1弧度
l=r
1弧度
O r RA
的与
A
一半 个径
比长
值有
关
5
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，
则∠AOB的弧度数的绝对值是 l = 3，
l
r
即∠AOB=－ = －3弧度
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为 2
已知扇形OAB的圆心角为4，其面积 2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
23
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
① 弧长公式： l = r
由公式： = l l = r
r
比公式
l = nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
19
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S = R2 n = 1 R2
它们构成一个集合：S = | = 2k , k Z
17
[例3]
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ
的形式：
16
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11
7
．
说明：在用四则运算表示角时，单位要统一，不能出
现例如300+2kπ,或π/2+k.3600等错误表示法！
18
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧度 0
6
4
3
2
2
3
3 5
46
角度 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600
弧度 7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
11 2
6
12
2
3 3 y 2
4
5
3
4
6
6
0
O
x
7
11
6 5
6
4
7
4 3 5 4
3
23
13
注意几点： 1．度数与弧度数之间换算。 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住。
57.30
=
5718'
9
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
10
[例2]把下列 各角化为度：
(1) 5 rad
6
(2)2rad (精确到0.1）
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
11
特殊角的角度与弧度换算表：
角度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
r
O rA
B
-3弧度
l=3r
6
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
(2)角的弧度数的绝对值
= l (l为弧长r为半径)
r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
7
角度与弧度间的换算
所对的圆心角
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一个与半径大小无关的定值．
16
终边相同的角
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
（2）用S弧=度表| 示= k 360 , k Z
与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
2
3
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作：弧度
C
l = 2r
2rad
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__4的_0_圆__中__，__圆心角为周角的
2 3
的角
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个 圆心角所在扇形的面积为_4__c_m_2____
24
25
7：当扇形的中心角为600，半径为10cm，求扇 形的弧长及该弧所在的弓形面积
600=π/3
L=10π/3
S = 50( 3 )cm2
32
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角 为多大时，它有最大面积，最大面积是多少? 26
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
解: 设扇形的圆心角的弧度数为 (0 2 ) , 弧长为l,
半径为R,
l 2R = 10 ①
根据题意: 1 lR = 4
②
2
由①得 l = 10 2R ,
代入②得 R2 5R 4 = 0
解得 R1=1,R2 =4
22
当R=1时,l=8cm时, = l = 8 2 舍去
14
4.用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一 一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
实数集R
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角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小，而 1
是圆的
1 360
360 2
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
20
例4. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
3
l = 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
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例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
若l=2 πБайду номын сангаасr，
则∠AOB=
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
l=2 π r O r A(B)
180°= π 弧度
360°= 2π 弧度
8
角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
1.角度制的定义
规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位来度量角的 制度叫角度制.
2、弧长公式及扇形面积公式
l nR 180
n R2 S
360
1
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进率 非十进制，总给我们带来不少困难．那么 我们能否重新选择角单位，使在该单位制 下两角的加、减运算与常规的十进制加减 法一样去做呢？