达西定律

达西定律 Darcy’s Law

反映水在岩土孔隙中渗流规律的实验定律。

由法国水力学家 H.-P.-G.达西在1852～1855年通过大量实验得出。其表达式为

Q=KFh/L

式中Q为单位时间渗流量，F为过水断面，h为总水头损失，L为渗流路径长度，I=h/L为水力坡度，K为渗透系数。关系式表明，水在单位时间内通过多孔介质的渗流量与渗流路径长度成反比，与过水断面面积和总水头损失成正比。从水力学已知，通过某一断面的流量Q等于流速v与过水断面F的乘积，即Q=Fv。或，据此，达西定律也可以用另一种形式表达

v=KI

v为渗流速度。上式表明，渗流速度与水力坡度一次方成正比。说明水力坡度与渗流速度呈线性关系，故又称线性渗流定律。达西定律适用的上限有两种看法：一种认为达西定律适用于地下水的层流运动；另一种认为并非所有地下水层流运动都能用达西定律来表述，有些地下水层流运动的情况偏离达西定律，达西定律的适应范围比层流范围小。

这个定律说明水通过多孔介质的速度同水力梯度的大小及介质的渗透性能成正比。

这种关系可用下列方程式表示：V=K[（h2－h1）÷L]。

其中V 代表水的流速，K 代表渗透力的量度(单位与流速相同, 即长度/时间)，（h2－h1）÷L 代表地下水水位的坡度（即水力梯度）。因为摩擦的关系，地下水的运动比地表水缓慢得多。可以利用在井中投放盐或染料，测定渗流系数和到达另一井内所需的时间。

在美国佛罗里达的含水层中，曾沿着多口水井，采用碳14 方法测定地下水的年龄。结果测出渗流系数为每年7 米。在渗透性能良好的介质中，渗流系数可高达每日6 米。美国还测得过每日235 米的纪录。不过，在许多地方，速率通常是每年不超过30 米。

达西渗流公式推导

达西定律是渗流中最基本的定律, 其形式简洁( v= kJ ), 最早是由实验证实的。它清楚地表明了渗流速度v与水力坡降J 成正比的关系。但这里只是笼统地用k 体现不同材料的不同的渗透性。为了更细致地认识和控制特定渗流就必须清楚k 与哪些因素有关。

达西定律的理论推导

达西定律可以从多孔介质中层流运动所遭遇的阻力关系推导出来。

图1为沿流线方向s取得单元微分体, 长为ds, 断面积为

dA;作用在单元柱体上的力有: 两端的孔隙水压力, 孔隙水流的自重及水流受到颗粒孔隙道的摩阻力F。沿土柱方向写渗流的三力平衡式(略去水流的惯性力)

pndA - ( p+ dp ) ndA - γndsdA sinθ- F = 0

因为 dz/ds= sinθ, h =p/γ+ z , dp= �γ( dh - dz )

代入上式则得

γndA dh + F = 0 ( 1)引用司托克斯对于一个颗粒上的层流阻力的公式D=3πμdν' , 式中D 常被称为拖引力; d 为颗粒直径; v'为颗粒周围沿渗流方向的局部平均流速; !为水的动力粘滞性; ∀为一个系数,决定于邻近颗粒的影响(对于无限水体中的圆球∀= 3π )。若土柱中土颗粒数为N, 并引用一个球体系数β(圆球时β=π/6), 则总阻力应为

F = DN [( 1- n ) dA ds]/[βd3] ∀μdv�''''' '( 2)

将( 2)式代入( 1)并考虑到断面上平均流速v= nv'�''及渗流坡降J= -dh/ds, 则得v=[βn2]/[∀( 1- n )]d2 γ/μ J, 令C=[βn2]/∀( 1- n ), 再令达西渗透系数k= Cd2 γ/μ, 即得达西定律表达式v= kJ。

渗透系数的决定因素

由以上推导可知, 达西定律描述了渗透流速与水头损失率成正比的关系。同时还可知渗透系数(k= Cd2 γ/μ)只取决于渗流材料系统自身的特性(Cd2)和流体自身特性(γ/μ)两种因素; 前者只与多孔介质的组成结构有关, 是唯一能够改变的内容。

既然渗透系数k 具有流速的尺度, 并决定于多孔介质的结构和流体的性质。因此在分析和控制渗流时即可从此去寻求方案。

达西渗透实验与达西定律

地下水在土体孔隙中渗透时，由于渗透阻力的作用，沿程必然伴随着能量的损失。为了揭示水在土体中的渗透规律，法国工程师达西(H.darcy)经过大量的试验研究，1856年总结得出渗透能量损失与渗流速度之间的相互关系即为达西定律。

达西实验的装置如图1所示。装置中的①是横截面积为A的直立圆筒，其上端开口，在圆筒侧壁装有两支相距为l 的侧压管。筒底以上一定距离处装一滤板②，滤板上填放颗粒均匀的砂土。水由上端注入圆筒，多余的水从溢水管③溢出，使筒内的水位维持一个恒定值。渗透过砂层的水从短水管④流入量杯⑤中，并以此来计算渗流量q。设△t时间内流入量杯的水体体积为△V, 则渗流量为q=△V /△t 。同时读取断面1-1和段面2-2处的侧压管水头值h1，h2，Δh为两断面之间的水头损失。

达西分析了大量实验资料，发现土中渗透的渗流量q与圆筒断面积A及水头损失△h 成正比，与断面间距l 成反比，即

式中i=△h/l，称为

水力梯度，也称水力坡降；k为渗透系数，其值等于水力梯度为1时水的渗透速度，cm/s 。

式（1-1）和（1-2）所表示的关系称为达西定律，它是渗透的基本定律。

达西定律的适用范围

达西定律是由砂质土体实验得到的，后来推广应用于其他土体如粘土和具有细裂隙的岩石等。进一步的研究表明，在某些条件下，渗透并不一定符合达西定律，因此在实际工作中我们还要注意达西定律的适用范围。

大量试验表明，当渗透速度较小时，渗透的沿程水头损失与流速的一次方成正比。在一般情况下，砂土、粘土中的渗透速度很小，其渗流可以看作是一种水流流线互相平行的流动——层流，渗流运动规律符合达西定律，渗透速度v与水力梯度i的关系可在v-i坐标系中表示成一条直线，如图2(a)所示。粗颗粒土（如砾、卵石等）的试验结果如图2(b)所示, 由于其孔隙很大，当水力梯度较小时，流速不大，渗流可认为是层流, v-i关系成线性变化，达西定律仍然适用。当水力梯度较大时，流速增大，渗流将过渡为不规则的相互混杂的流动形式——紊流,这时v-i关系呈非线性变化, 达西定律不再适用。

①砂土、一般粘

土②颗粒极细的粘土