怎样求y=Asin(ωx+ψ)的解析式

怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式

学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题。这里

振幅A常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2π

ω

来求得，问题的关键是求初相ϕ。本

文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法。

一、待定系数法分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A、ω、ϕ的三个方程，从而解出A、ω、ϕ，这就是待定系数法。

例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为2

3

π

，且它

的图象经过点(0,

)，求此函数的解析式。

解析：∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2。∵函数的周期是2

3

π

，∴

2

3

π

=

2π

ω

，解

得ω=3。∵函数的图象经过点(0,

),∴将x=0，y=

及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)

得－=2sinϕ，sinϕ=

－

2

.∵0<ϕ<2π，∴y=

5

4

π

或

7

4

π

。故所求函数的解析式是：y=2sin(3x+

5

4

π

)或y=2sin(3x+

7

4

π

)

例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式。

分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的

1

2

。

∴

2

T

=

5

6

π

－

6

π

=

2

3

π

，即T=

4

3

π

，∴ω=

2

T

π

=

3

2

又显然有A=2，下面只须求初相ϕ。

设曲线与x轴交C，易知，C(

2

π

,0)将A=2，ω=

3

2

，x=

2

π

，

y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(

3

4

π

+ϕ)。

∴ϕ=kπ－

3

4

π

，(k∈Z)。注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx的图象，经过振幅、周期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间[－π,π]上有解。∴ϕ=－

3

4

π

，故函数的解析式是y=2sin(

3

2

x－

3

4

π

)。

二、平移变换我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin[ω(x+

ϕ

ω

)]的图象，可以看成是由函数y=sinx的图象经过下面变换而得到：y=sinx的图象→y=Asinx的

图1

图2 图象（振幅变换）→y=Asin ωx 的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+ϕ

ω

)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ。

例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式。

分析 这里2T =32

π

，∴T=3π，ω=23。

∵函数的图象可以看成是y=sinx 的图象经过振幅变换、

周期变换后，再向左平移52π个单位。∴52π=ϕ

ω

，即ϕ=

54

π·23=53

π。下面只须再由图象过点(0,

来确定A 。 将x=0，y=

ϕ=53π代入y=Asin(ωx+ϕ)53

π

，A=2，故函数的解析

式是y=2sin(23x+53

π

)。

评注：由y=Asin ωx 的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+ϕ

ω

)]的图象，可从图像上特殊点的变化得到平移的规则，如本题中向左平移

52

π

个单位等。 三、“五点法” 我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，主要是作变

量代换X=ωx+ϕ，由X 取0，

2

π

，π，32π，2π来求出对应的x 的值，确定图象五个关键

点的位置。而求其表达式，则相当于X ，x 已知，求ω与ϕ。

例4 如图3，写出函数y=Asin(

ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个表达式。

解析： 易知

，令X=ωx+ϕ。图象中的特征点(2,－，(6,0)对应y=sinX 图象中五个关键点的两点(

32

π

,－1)，(2π,0)，因此， 32262πωϕωϕπ⎧⋅+=⎪⎨

⎪⋅+=⎩，解得8

54

πωπϕ

⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴sin(

8

πx+54π

)

评注： 建立x ，X 对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx 图象上五个关键点中(0,0)，

(

2

π

,1)，(π,0)，(32π,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+ϕ=32π时，只能有ω·6+ϕ=2

π。而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是ϕ值不同，可以相差2k π(k ∈Z)

。如当