第2节等差数列及其前n项和

第五章第二节等差数列及其前n项和

1•设命题甲为"a, b, c成等差数列”，命题乙为"半+卡=2”，那么（

）A•甲是乙的充分不必要条件

B •甲是乙的必要不充分条件

C•甲是乙的充要条件

D •甲是乙的既不充分也不必要条件

解析：由?+ 7= 2，可得a+ c= 2b，但a、b、c均为零时，a、b、c成等差数列，但a +

b b b

c工2.

b

答案：B

2. 在数列｛a n｝中，a i = 1, a n+1 = 2a n+ 2n.

（1）设b n=强，证明：数列｛b n｝是等差数列；

⑵求数列｛a n｝的前n项和S n.

解：（1）证明：由已知a n+1 = 2a n+ 2n得

a n +1 2 a n + 2n a n

b n+ 1 = ~2^ = —2^ —= + 1 = b n+ 1.

又b1 = a1= 1,

因此｛ b n｝是首项为1,公差为1的等差数列.

（2）由（1）知= n,即a n= n 2n 1.

S n= 1 + 2X 21+ 3X 22+・・・+ n X 2n_ 1,

两边乘以 2 得，2S n= 2+ 2X 22+…+ n X 2n.

两式相减得

S n=—1 - 21-22—…—2n_ 1+ n 2n

=—（2n—1）+ n 2n

=（n—1）2n+ 1.

3. （2009福建高考）等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且S3= 6,a3= 4，则公差d等于（

）

D. 3

C. 2

解析：

... S 3

(a1+

23)x

3 = 6,而 a 3 4, • a 1

0,

答案：C

4. （2010广州模拟）已知数列｛a n ｝的前n 项和3= n 2 - 9n ，第k 项满足5 v ay 8,则k 等

于

( ) A . 9 B . 8 C . 7

D . 6

解析：a n =

S 1

(n = 1)

Si 一 Si —1

(n > 2)

—8

(n = 1)

=

=2n — 10,

—10+ 2n (n > 2)

5v a k v 8, • 5v 2k — 10v 8,

答案：B

5. _________________________________________________________________________ 已知等差数列｛a n ｝中，a 2= 6 , a 5= 15,若b n = a 2n ,则数列｛b n ｝的前5项和等于 ____________ .

a 2= a 1 + d = 6,

a 1 = 3,

解析：由

？

- - a n = 3+ 3(n — 1) = 3n , b n = a 2n = 6n , • S 5

a 5= a 1 + 4d = 15,

d = 3,

答案：90

6. 已知数列｛a n ｝满足 2a n +1 = a n + a n + 2（n € N *），它的前 n 项和为 S n ,且 a 3= 5, S 6= 36. （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；

（2） 设b n = 6n + （ — 1）n —

1入2a n （入为正整数，n € N *），试确定 入的值，使得对任意 n

€ N *, 都有 b n + 1 > b n 成立.

解：（1） ■/ 2a n +1 = a n + a n +2, • ｛a n ｝是等差数列，设｛a n ｝的首项为a 1，公差为d , a 1 + 2d = 5

由 a3= 5,

S6= 36 得 6a 1+ 15d = 36，解得 a1= 1, d = 2.

• - a n = 2n — 1.

(2) 由(1)知 b n = 6n + (— 1)n —

1 -X22n —

1,要使得对任意 n € N *都有 b n +1>b n 恒成立，

二 b n +1 — b n = 6n +

1 + (— 1)n •入22n +

1— 6n — (— 1)n —

1 ^22n —

1 = 5 6n — 5 入(一1)n —

1 22n —

1> 0

恒 成立，

即 2^(— 1)n —

1v (|)n .

当n 为奇数时,

d =

a 3 —

a i 2

=2. • 15

6+ 30

2 x 5= 90.

3 3 3

即疋2即,而（2）n 的最小值为2 , •••疋 3.

当n 为偶数时，X>- 2（2）n ,

而一2（2）n 的最大值为—9, • >— 9. 由上式可得一2 V 入V 3,而入为正整数, •-匸1或匸2.

7•设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S s = 9, S 6= 36,则a 7+ a 8+ a g 等于 ( )

A . 63

B . 45

C . 36

D . 27

解析：由｛a n ｝是等差数列，贝y S 3, S 6— S 3, S 9— S 6成等差数列. 由 2(S s — S 3)= S 3+ (S 9— S 6)得到

S 9— S 6= 2S 6 — 3S 3 = 45,即 a 7 + a 8 + a 9= 45. 答案：B

&在等差数列｛ a n ｝中，已知log 2（a 5 + a 9）= 3,则等差数列｛a n ｝的前13项的和S i3= _______ 解析：T log 2（a 5+ a 9） = 3, • a 5 + a 9= 23= 8.

答案：52

9. （2009辽宁高考）等差数列｛a n ｝的前n 项和为3,且6S 5— 5S 3 = 5,贝U a 4 = ________ . 解析：设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ,则由6S 5 — 5S 3= 5，得6（a 1+ 3d ） = 2,

1

所以a 4=1 1

答案：1

10. 设数列｛a n ｝是等差数列，且a 4=— 4, a 9= 4, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，贝U （

） A . S 5V S 6

B . S 5= S o

C . S 7= S 5

D . S 7= S o

解析：因为 a 4=— 4, a 9= 4，所以 a 4 + a 9= 0,即卩 a 6 + a 7= 0,所以 S 7= S s + a 6+ a 7= S 5. 答案：C

11. ________________________________________________________ （文）在等差数列｛a n ｝中，若a 1<0, S 9= S 12,则当n 等于 _____________________________ 时，S n 取得最小值.

S 13 =

13 x (a 1 + a 13) 2

13 x (a 5+ a 9) 2 13X 8

2 =52.