最新-2018高中数学 第2章232方差与标准差课件 必修3 精品

3．由于平均数与每一个样本的数据有关，所以 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变， 这是众数、中位数都不具备的性质．也正因为这 个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以 反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均 数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估 计总体时可靠性降低．
知新益能
1．极差 一 组 数 据 的 _最_大__值___ 与 _最__小_值____ 的 _差__．__
方差较大的波动较大，方差较小的波动较小．
问题探究 样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什 么特征？ 提示：样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常 用的统计量，描述了样本数据的平均水平．样本 方差和标准差是刻画数据的离散程度的量，方差 越大，离散程度越大．
课堂互动讲练
考点突破
极差、平均数、方差与标准差的概念
【名师点评】 (1)标准差公式及变形要记忆牢 固，运用熟练． (2)方差、标准差单位不一致，要注意区别．
自我挑战 2 已知一组数据 x1，x2，x3，x4 的平均数是 2，方差是13，那么数据 3x1－ 2,3x2－2,3x3－2,3x4－2 的平均数和方差分 别是________、________.
2．3.2 方差与标准差
学习目标 1.会求样本标准差、方差； 2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征 的方法； 3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
课前自主学案 2
．
3.
2
方 差
课堂互动讲练
与
标
准
差
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
通过上节知识的学习，你能体会出众数、中位数、 平均数这三种数字特征的优缺点吗？ 1．众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其 他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征． 2．中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受 少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点， 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
例3 (本题满分14分)甲、乙两名战士在相同条件 下各射靶10次，每次命中的环数分别是(单位：环)： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的标准差； (3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况． 【思路点拨】 把数据直接代入公式求解，进而根 据代表的含义估计两名战士的射击情况．
3．标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准 差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没 有波动幅度，数据没有离散性． 4．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可 能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻 画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际 问题时，一般采用标准差．
2．方差与标准差
设一组样本数据：x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则称 s2 x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2
＝___________________n___________________为这个样本的
方差，其算术平方根 s＝
n1i＝n1 xi－ x 2为样本的标准差，
分别简称方__差___、_标__准__差__．其中，标准差的单位与原始测量
③新数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差是 a2s2.
例1 已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数 是3，则这个样本的标准差是多少？ 【思路点拨】 法一： s2＝n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] → 结果
法二： s2＝1nx21＋x22＋…＋xn2－ x 2 → 结果
解：①先计算平均直径： x 甲＝14(10＋9.8＋10＋10.2)＝10， x 乙＝14(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.
由于 x 甲＝ x 乙，因此，平均直径反映不出两台机
床生产的零件的质量优劣．
②再计算方差：
s
2
甲
＝
1 4
[(10
－
10)2
＋
(9.8
－
10)2
＋
(10
－
10)2
＋
(10.2
－
10)2]＝0.02，
s
2
乙
＝
1 4
[(10.1
－
10)2
＋
(10
－
10)2
＋
(9.9
－
10)2
＋
(10
－
10)2]＝0.005.
由于 s2乙<s2甲，这说明乙机床生产出的零件直径波动小．
因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产
的零件质量更符合要求．
方法感悟
1．数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差 来描述．极差反映了一组数据的变化的最大幅度， 它对一组数据中的极端值非常敏感．方差则反映 了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以 样本数据的单位表示的波动幅度，通常用标准 差——样本方差的算术平方根来描述． 2．标准差的大小不会越过极差．
对概念的理解应注意以下两点： (1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的 大小．方差、标准差越大，数据越分散；方差、标 准差越小，数据越集中(若s＝0，则表明数据没有波 动，样本数据全相等)． (2)样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在 应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同， 则直接应用平均数比较；若平均数相同，则要由方 差、标准差研究其与平均数的偏离程度．
自我挑战1 下列说法正确的是______． ①甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表 明这两个班数学学习情况一样； ②期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表 明甲班的数学学习情况比乙班好； ③期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲 班比乙班大，则数学学习情况甲班比乙班好； ④期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲 班比乙班小，则数学学习情况甲班比乙班好． 答案：④
【解】 法一：∵ x ＝1＋3＋52＋5＋x＝3， ∴x＝4. 由方差公式有：
s2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]
＝2，∴s＝ 2. 法二：∵ x ＝1＋3＋52＋5＋x＝3，∴x＝4， 由方差公式的变形形式有：
s2＝15(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s＝ 2.
自我挑战3 两台机床同时生产直径为10的零件， 为了检验产品的质量，质量检验员从两台机床 的产品中各抽出4件进行测量，结果如下： 机床甲：10 9.8 10 10.2 机床乙：10.1 10 9.9 10 如果你是质量检验员，在收集到上述数据后， 你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零 件质量更符合要求？
【规范解答】 (1) x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9
＋10＋4＋7)＝7， x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋ 7＋9＋5)＝7.4 分 (2)由标准差公式
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]，
得 s 甲≈1.732，s 乙≈1.095.10 分
例1 下列叙述不正确的是______． ①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平 ②极差描述了一组数据变化的幅度 ③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小 ④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定
【思路点拨】 本题主要考察对样本的平均数， 极差，方差的理解，可用定义判断正误． 【解析】 选项①、②、③都是对三个基本概念 的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数 的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差 越大说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确 的．故选④. 【答案】 ④ 【名师点评】 通过本题可以加深对概念性问题 的理解．
方差、标准差的计算
(1)方差的基本公式： s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] 方差的简化计算公式为：s2＝n1[(x21＋x22＋…＋x2n) －n x 2]＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－ x 2
(2)方差的运算性质 如果数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2，则 ①新数据 x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的方差仍是 s2. ②新数据 ax1，ax2，…，axn 的方差是 a2s2.
平均数与标准差的综合应用
(1)在计算平均数和标准差时，如果数据较大，可 以注意方法的选择，将各个数据都减去同一个数 后，平均数也相应减小了，而这组数据的标准差 不会发生变化． (2)平均数与标准差都是重要的数字特征数，是对 总体的一种简明的描述．它们所反映的情况有着 重要的实际意义，所以，不仅需要掌握其计算公 式和方法，还要学会通过这些数据分析其含义， 从而为正确决策提供依据．
单位_相__同__，方差的单位是原始数据单位的_平__方__．__
3．方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述
_________________
一组数据波动情况
_的__特__征__数___ ， 常 用 来 比 较 两 组 数 据 的 波 动 大
Hale Waihona Puke Baidu
小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，
平均数相等或比较接近时的情况．
解析：若 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，
则 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数为 a x ＋b， 方差为 a2s2. 所以，由题意 3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2 的平均数为：
3 x －2＝3×2－2＝4，方差为：a2s2＝32×13＝3. 答案：4 3
(3) x 甲＝ x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又∵s 甲>s 乙，说明甲战士射击情况波动大． 因此乙战士比甲战士射击情况稳定.14 分
【名师点评】 (1)在解答本题(3)时，易出现 对甲、乙射击情况判断的错误，要正确理解方 差的概念． (2)解决此类题目，需要有把握数据的能力， 通过观察、分析、计算，进而比较平均数和方 差的大小，从数学理论角度出发，用数据说话， 问题不难得到解决．