高数教案第十章重积分
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高等数学教案
第十章重积分
§10-1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
(一)引例
1. 曲顶柱体的体积
设有一空间立体Ω,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)
z f x y
=。
当(,)
x y D
∈时,(,)
f x y在D上连续且(,)0
f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V可以这样来计算:
(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ
∆,
2
σ
∆,,
n
σ
∆,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲
顶柱体
1
∆Ω,
2
∆Ω,,
n
∆Ω。
(假设
i
σ
∆所对应的小曲顶柱体为
i
∆Ω,这里
i
σ
∆既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i
∆Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
图10-1-1
从而
1
n
i
i
V
=
=∆Ω
∑ (将Ω化整为零)
(2) 由于(,)
f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱
体近似地看作小平顶柱体,于是
∆Ω∆∆i i i i
i i i
f ≈∀∈()()(
)
ξησξησ
(以不变之高代替变高, 求i ∆Ω的近似值)
(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为
V f i i i
i n
≈=∑()ξησ∆1
(4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则
V f n
i i i
i =→=∑lim (),λξησ01
∆
2.平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里
(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。
图10-1-2
将D 分成n 个小区域 1σ∆,2σ∆,,n σ∆,用i λ记i σ∆的直径, i σ∆既代表第i
个小区域又代表它的面积。
当{}1max i i n
λλ≤≤=很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀
的, 那么第i 小块区域的近似质量可取为
ρξησξησ(,)(,)i i i i i i
∆∆∀∈
于是 ∑=∆≈
n
i i i i
M 1
),(σηξ
ρ
M i i i
i n
=→=∑lim (,)λρξησ01
∆
两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 (二) 二重积分的定义
1.定义:设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域
∆∆∆σσσ12,,, n ,
其中,i σ∆既表示第i 个小区域, 也表示它的面积, i λ表示它的直径。
λλ=≤≤max{}1i n
i
∀∈(,)ξησ
i i i ∆ 作乘积 (,)(1,2
,)i i i f i n ξησ∆=
作和式
1
(,)n
i
i
i
i f ξησ
=∆∑
若极限 ()0
1
lim
,n
i
i
i
i f λξησ
→=∆∑ 存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,
记作
(),D
f x y d σ⎰⎰。
即
(),D
f x y d σ=⎰⎰()0
1
lim ,n
i i i
i f λξησ
→=∆∑
其中: (),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,
,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域,()1
,n
i i i i f ξησ=∆∑称之为积分和式。
2. 几个事实
(1) 二重积分的存在定理
若(),f x y 在闭区域D 上连续, 则(),f x y 在D 上的二重积分存在。 声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)
(),D
f x y d σ⎰⎰中的面积元素d σ象征着积分和式中的i
σ
∆。