矩阵的标准型及分解

,
p( ni ij
j
)
)
由 Ap i j pi j J j ( i ) ，可知
( A i I ) pi(1j )
(
A
i
I
)
pi(
2 j
)
pi(1j )
(
A
i
I
)
p( ni ij
j
)
p( ni j 1) ij
解这个方程组，可得到Jordan链
{
pi(1j )
,
pi(
2) j
,
,
p( ni ij
A2
(1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2 并从 ( A 2I )x 解得对应的特征向量为
1 (0, 0,1)T
对于二重特征值 `2 `3 1 ，由 ( A I )x
只解得唯一的特征向量为
2 (1, 2, 1)T
对重根有几个特 征向量，就有几 个约旦块
因此 A2 (1) 中只有一个Jordan块，即
n1
n2
nt
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
解： A 特征值为 `1 2, `2 `3 1 ，所以设
JA
A1 ( 2)
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
§1 矩阵的相似对角形 §2 矩阵的约当标准形 §3 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式 §4 多项式矩阵与史密斯标准形 §5 多项式矩阵的互质性与既约性 §6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解 §7 系统的传递函数矩阵* §8 舒尔定理及矩阵的QR分解 §9 矩阵的奇异值分解
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相 似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征 值（包括代n 数重数和几何重数）、行列式、迹 及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相 似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩 阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵， “代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特 别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特 殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾 的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！
i 1
Ji
(i
)
i
为 mi 阶Jordan 块。
, i 1, 2, , s
1
i mi mi
定理 2 设 A C nn 。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 ( ) ( 1 )m1 ( s )ms
(m1 m2 ms n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J
(不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵) P C nn 使
P 1 AP J
A PJP 或者 A 有Jordan分解
1
二、 Jordan标准型的一种简易求法
把 A 的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，
就得到Jordan标准型
J A diag( A1(1 ), A2 ( 2 ), , At ( t ))
P ( p1, p2, , pt )
其中 p i 是 n ni 阶的矩阵。 由 AP P J A ，可知
列分块为
A pi pi Ai (i ) (i 1, 2, , t)
进一步，根据 Ai ( i ) 的结构，将 p i 列分块为 p i ( p i1 , p i2 , , p i ki )
(n1 n2 nt n)
其中 Ai ( i ) 是 ni 阶的Jordan子矩阵，有 k i 个
阶数为 ni j (ni 1 ni2 ni k i ni )的
Jordan块，即
Ai ( i ) diag(J1( i ), J2 ( i ), , Jki ( i ))
根据 J A 的结构，将Jordan变换矩阵 P
j
)}
这个名称也可以这样理解：
p(ni ij
j
)
AiI
p( ni ij
j 1)
AiI
AiI pi(1j) AiI
其中， pi(1j ) ( j 1, 2, , ki ) 是矩阵 A 关于特征
值 i 的一个特征向量，
的广义特征向量,称
p( ni ij
j
)
pi(
百度文库2 j
为
),
i
,
p( ni j ) 则称为 ij
3.2、矩阵的Jordan标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 们“退而求其次”，寻找“几乎对角的” 矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标 准型问题，其中Jordan标准型是最接近 对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。 弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算 上以及应用上的许多问题就容易处理了， 当然花费也大了。
1 1
A2
(1)
0
1
求解
(A
I )
，可得所需的广义特征向量
i
的 ni j 级根向量。
当所有的 ni j 1 时，可知 k i ni ，此时矩阵没
有广义特征向量， p i 的各列是 i 的线性无关的特
征向量，因此Jordan块 J j (i ) ( j 1, , ki;
i 1, , t ) 都是一阶的，此时Jordan标准型为
J diag(1, , 1 , 2 , , 2 , , t , , t )
一、 Jordan标准型的概念
定理 1 设 T 是复数域 C 上的线性空间 V 上的
线性变换 。令 T 在V 的一组基下的矩阵表示
为 A ，如果 A 的特征多项式可分解因式为
() ( 1)m1 ( s )ms
(m1 m2 ms n)
则 V 可分解成不变子空间的直和
V N1 N2
Ns
其中 p i j ( j 1, 2, , ki ) 是 n ni j 阶矩阵。
由 A pi pi Ai (i ) ，可知
A pi j pi j J j ( i ) ( j 1, 2, , ki )
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
pi j
( pi(1j )
,
pi(
2) j
,
这里 Ni Ker((T i E)mi )
适当选取每个子空间 Ni 的基（称为Jordan基）， 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的Jordan
基，并且 V 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵
J diag(J1(1 ), J2(2 ), , Js ( s ))
称 J 为 A 的Jordan标准型。并称方阵