常微分方程

dt
y1
y
y2
,
f1(t; y1,
f
(t;
y)
Biblioteka Baidu
f2 (t;
y1,
yn
fn (t; y1,
, yn )
,
yn
)
, yn )
驻定与非驻定，动力系统
/ Autonomous Equations, Dynamic Systems /
如果方程组右端不含自变量t,则称为驻定（自治）的， 右端含有t的微分方程组称为非驻定（非自治）的
dy f ( y), y D Rn dt
对于非驻定（非自治）的方程组可以引进变量化为 驻定（自治）的方程组
驻定微分方程组称为连续动力系统
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相空间、奇点和轨线
/ Phase Space, Singular Points and Orbits/
不含自变量t,仅有未知函数组成的空间称为相空间. 积分曲线在相空间中的投影称为轨线. 对于驻定方程组
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教材及参考资料
教材： 《常微分方程》(第3版)(97年国家教委一等奖)，王高雄等 编， 高教出版社。 参考书目： 《常微分方程讲义》(第2版)，叶彦谦编，人民教育出版社； 《常微分方程教程》，丁同仁等编，高等教育出版社； 《常微分方程》，东北师大数学系编，高教出版社； 《常微分方程讲义》，王柔怀、伍卓群编，高教出版社； 《常微分方程及其应用》，周义仓等编，科学出版社； 《常微分方程稳定性理论》，许松庆编，上海科技出版社
d2 y dy dt2 b dt cy f (t)
v v sin(t) 0 s t
常微分方程(O.D.E.): 只含一个自变量的微分方
程
偏微分方程(P.D.E.): 含两个或两个以上自变量 的微分方程
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方程的阶数、线性和非线性微分方程
/Linear and Nonlinear O.D.E./
dy y x2 dx
通解为
dy Cex x2 2x 2 dx
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微分方程组
/ Differential Equations /
一阶微分方程组的一般形式
dyi dt
fi (t; y1,
, yn ),
i 1, 2, , n
一阶微分方程组的向量形式
其中：
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dy f (t; y)
d2I dt 2
R L
dI dt
I LC
1 L
de(t) . dt
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数学摆
系于一根长度为L的线上而质量为 m的质点M，在重力作用下，在垂 直于地面的平面上运动的运动方 程为
d2
dt 2
m
d
dt
g L
1 mL
F (t )
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O
φ L
M
A
P
mg Q
人口模型
1798年Malthus提出了闻名于世的Malthus人口 模型，他假设人口的净增长率为常数
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Lorenz方程
dx dt
a(
y
x)
dy
dt
xz
cx
y
dz dt
xy
bz
8
a 10,b , c 28
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3
1.2 基本概念和常微分发展史
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1.2.1基本概念/Basic Conception/
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
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1.2.2常微分方程发展史
第二个阶段（19世纪末，20世纪初）：微分方 程解的定性研究，微分方程的解析理论，微分 方程解的大范围性态，即稳定性理论，动力系 统理论，代表人物： Bessel,Legendre,Poincare,Hilbert,Lyapuno v,Birkhoff,Arnold,Smale,etc
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Lorenz方程
美国气象学家Lorenz在进行数值天气预报中， 将大气对流现象用一个12个变量的微分方程组 进行模拟计算，一小时可以计算两个月的天气 变化。一次偶然计算发现几乎相同的输入计算 结果却大不相同。经过重新处理他将变量个数 减为3个得到一个简单的微分方程组，这就是 后来被称为混沌现象第一例的有名的Lorenz方 程。
,
,
dn1 y dxn1
y ( n 1) 0
y(x0 )
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y0 ,
dy(x0 ) dx
y(1) 0
,
,
dn1 y(x0 ) dxn1
y ( n 1) 0
F (x, y,
dy dx
,
,
dny dx n
)
0
积分曲线和方向场
/ Integral Curve and Direction Field/
an(x)y f (x)
解和隐式解/Solution/
F(x,y, dy , dx
,
dny dx n
)
0
若将y (x)代入上式，使其变为恒等式，则称
它为微分方程的解;若关系式 (x, y) 0 决定的 函数 y (x)是方程的解，称 (x, y) 0 为方程 的隐式解.
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常微分方程的基本概念：微分方程的定义，微 分方程的阶，线性和非线性方程，解和隐式解， 通解和特解，初值条件，定解问题，积分曲线 和向量场，微分方程组，驻定（自治），动力 系统，相空间、奇点和轨线。
常微分方程发展史：一阶微分方程的通解问题， 微分方程的解析理论，微分方程非线性理论。
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P26:
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通解和特解
/General Solution and Special Solution/
为了确定微分方程一个特定的解，我们通常
给出这个解所必须的条件，这就是定解条件。
常见的定解条件是初值条件和边值条件（附
录I）。n阶微分方程的初值条件是指：
x
x0
:
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
dy f ( y), y D Rn dt
代数方程组 f (y) 0 的解表示相空间中的点，它满足 微分方程组，故称为平衡解，又称为奇点.
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1.2.2常微分方程发展史
微分方程发展的三个阶段：
第一个阶段（18世纪中叶）：伴随微积分概念 出现后常微分方程即已出现，研究用初等函数 或者超越函数来表示常微分方程的解，即微分 方程的初等解法，代表人物： Euler,Bernoulli,Riccati,Liouville,Cauchy
方程的阶数:方程中所出现的未知函数的最高
阶导数的阶数
n阶常微分方程的一般形式：
F(x,
y,
dy dx
,
,
dny dx n
)
0
左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，
则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性 微分方程。
n阶线性常微分方程的一般形式：
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dny dx n
a (x 1
)
dn 1y dx n1
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考核方式及学时、学分
采用闭卷考试方式． 其中： 平时出勤、作业：占总成绩的30% ； 期末考试（闭卷）：占总成绩的70%。
56学时，3.5学分。
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教学内容及学时分配
序号
章节名称
学时
第一章
绪论
4
第二章 一阶微分方程的初等解法
12
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 8
通解和特解
/General Solution and Special Solution/
常微分方程的解的表达式中，可能包含一个 或者几个常数，若其所包含的独立的任意常 数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称 这样的解为该微分方程的通解。
F(x,y, dy , dx
,
dny dx n
)
0
(x, c1, c2, , cn ) 0
第四章
高阶微分方程
12
第五章
线性微分方程组
10
第六章
非线性微分方程
8
合计
56
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1.1常微分方程模型 1.2 基本概念和常微分发展史
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1.1常微分方程模型
物理、力学中的常微分方程模型
社会学、生物学、气象学中的常微分方程模型
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RLC电路
包含电阻、电感、电容及电源的RLC电路是电子电路 的基础（如图）。根据Kirchhoff第二定律：在闭合 回路中，所有支路上的电压代数和为零。即
1 2（5） 3 (1) 8（1）
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作业
dN rN dt
Verhulst表示人口的净增长率随着N的增加而 减少
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dN r(1 N )N
dt
Nm
生物种群的Volterra生态模型
某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而 捕获到的捕食鱼占的百分比却急剧增加？
dx dt
x(a bx
cy)
dy
dt
y(d
ex
fy)
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教学目的
通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分 方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方 程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得 比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性 理论有初步的理解，培养学生分析问题和解决问 题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学 等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学 数学教学、从事相关科学研究，也为实施素质教 育提供建模思想方面的训练和准备．
东北大学秦皇岛分校
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课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物 体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理 论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医 学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述 成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、能量守恒定 律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传 基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡 价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归 结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因 此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科 学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
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1.2.2常微分方程发展史
第三个阶段（20世纪）：伴随计算机技术的发 展，研究重新回到求特解时代，研究特殊性质 的特殊解，如混沌，孤立子和分形，广义微分 方程，分支理论，代表人物： Lorenz,Smale, etc
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本章小结
常微分模型：RLC电路，数学摆， Malthus人 口模型，Volterra生态模型，Lorenz方程。