风险评估技术-马尔可夫分析

马尔可夫分析

1 概述

如果系统未来的状况仅取决于其现在的状况，那么就可以使用马尔可夫分析(Markov analysis)。这种分析通常用来分析那些存在多重状况的可维修系统，而可靠性框图分析不适合对该系统进行充分分析。通过运用更高层次的马尔可夫链，这种方法可拓展到更复杂的系统中。同时，这种方法只会受模型、数学计算和假设的限制。

马尔可夫分析是一项定量技术，可以是不连续的(利用状态间变化的概率)或者连续的(利用各状态的变化率)。

虽然马尔可夫分析可以手动进行，但是该技术的性质使其更依存于市场上普遍存在的计算机程序。

2 用途

马尔可夫分析技术可用于各种系统结构(无论是否需要维修)，包括：

●串联系统中相互独立的部件；

●并联系统中相互独立的部件；

●负荷分载系统；

●备用系统，包括发生转换故障的情况；

●降级系统。

马尔可夫分析技术也可以用于计算设备可用度，包括考虑需要维修的备件。

3 输入

马尔可夫分析的关键输入数据如下所示：

●系统、子系统或组件可能处于的各种状况的清单(例如，完全运行、部分运行(降级状况)以及故障状况等)；

●认清建模所必需的可能的转移。例如，如果是汽车轮胎故障，那就要考虑备胎的状况，还要考虑检查频率；

●一种状况到另一种状况的变化率，通常由不连续事项之间的变化概率来表

示，或者连续事项的故障率(λ)及/或维修率(μ)来表示。

4 过程

马尔可夫分析技术主要围绕“状态”这个概念(例如，现有状态及故障状态)以及基于常概率的状态间的转移。随机转移概率矩阵可用来描述状态间的转移，以便计算各种输出结果。

为了说明马尔可夫分析技术，不妨分析一种仅存在于三种状态的复杂系统。功能、降级和故障将分别界定为状态S1、状态S2以及状态S3。每天，系统都会存在于这三种状态中的某一种。下表说明了系统明天处于状态Si的概率(i可以是1、2或3)。

表-马尔可夫矩阵

该概率阵称作马尔可夫矩阵，或是转移矩阵。注意，每栏数值之和是1，因为它们是每种情况一切可能结果的总和。这个系统可以用马尔可夫图来表示。其中，圆圈代表状态，箭头代表相应概率的转移。

图-系统马尔可夫图

从某个状态返回自身的箭头通常并不绘出，但是为了完整性也显示在这些例子中。

Pi代表系统处于状态i(i可以是1、2或3)的概率，那么需要解决的联立方程包括：

这三个方程并非独立的，无法解出三个未知数。因此，下列方程必须使用，而上述方程中有一个方程可以弃用。

状态1、2及3的答案分别是0.85、0.13和0.02。该系统只在85%的时间里能充分发挥功效，13%的时间内处于降级状态，而2%的时间存在故障。

应考虑平行运行的两个组件，其中，系统要发挥功能，其中一组件必须正常运行。这些组件可能是正常或故障的，系统的可用性依赖于组件的整体状态。

状态可以视为：

状态1：两个项目能发挥正常功能；

状态2：一个项目已出现故障并正在进行维修，而另一个项目运行正常；

状态3：两个项目都已出现故障且都在进行维修。

如果假设各项的故障率为λ，维修率为μ，那么状态转移图如下所示：

图-状态转移图

注意，从状态1到状态2的转移为2λ，因为这两项中任一项的故障都会使系统进入状态2。

设定Pi(t)为t 时系统处于初始状态的概率； 设定Pi(t t δ+)为t t δ+时系统处于最终状态的概率。 转移概率矩阵就变成：

表-最终马尔可夫矩阵

值得关注的是，如果无法从状态1转移到状态3或是由状态3转移到状态1，那么就会出现零值。而且，在规定比率时，各栏总和为零。

联立方程变为：

)()(2/d 211t P t P dt P μλ+-=

)()()()(2/d 3212t P t P t P dt P μμλλ++-+= )()(/d 323t P t P dt P μλ-+=

为了简单起见，我们假设所需的可用度为稳定状态可用度。 当t δ趋向无限时，dPi/dt 会趋于零，解方程式会变得更容易。 上面方程(B.4)所示的附加方程式也必须加以利用。 现在，方程A(t)=P1(t)+P2(t)可以表示为： A=P1+P2

因此，)2/()2(222λλμμλμμ+++=A 5 输出

马尔可夫分析的输出结果是处于各种状态下的各种概率，因此，可以估算出故障概率及/或可用度(系统的关键组件之一)。

6 优点及局限

马尔可夫分析的优点包括：

●能够计算出具有维修能力和多重降级状态的系统的概率。

马尔可夫分析的局限包括：

●无论是故障还是维修，都假设状态变化的概率是固定的；

●所有事项在统计上具有独立性，因此未来的状态独立于一切过去的状态，除非两个状态紧密相接；

●需要了解状态变化的各种概率；

●有关矩阵运算的知识；

●结果很难与非技术人员进行沟通。

7 比较

类似于Petri网分析，马尔可夫分析也能监督并观察系统状态。两者存在差异，因为前者能同时存在于多重状态下。