第六章 无穷级数(典型例题)

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第六章 无穷级数(3-4道小题,5分一个题)

例1、 考察下述级数的敛、散性(不用全部讲) (1)∑∞

=1n n ; (2)()

.111∑

=+n n n ; (3) (81)

614121++++;

(4) (71)

615141++++; (5)1ln 212

4n n n n ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑;

(6)111111......3923n n

+++++++ ; (7) (43)

3221+++;

(8)....cos ...3cos 2cos cos +++++n π

πππ; (9)12n

n n n ∞

=-⎛⎫

⎪⎝

⎭∑ 例2、 已知级数1

n n u ∞

=∑的部分和3n S n =,则当2n ≥时,求n u 。

例3、 若级数1

n n u ∞=∑收敛,记1

n

n i i S u ==∑,则()B

().lim

0n n A S →∞=; ()l i m n n B S →∞

存在; ().lim n n C S →∞可能不存在; (){}.n D S 是单调数列。 例4、 若级数1n n u ∞

=∑收敛,则下列级数中收敛的是:(AE )

A 110

n n u ∞

=∑ B

1

(10)n

n u ∞

=+∑ C 110

n n u ∞

=∑ D 1

(10)n

n u

=-∑ E

1

10n

n u

=∑

例5、 设1

1

50100n n n n u v ∞

====∑∑,,则()1

23n n n u v ∞

=+∑(D )

A 发散

B 收敛,其和为100

C 收敛,其和为50

D 收敛,其和为400 例6、 下列条件中,使级数()1n n n u v ∞

=+∑一定发散的是()A

()1.n n A u ∞=∑发散且1

n n v ∞=∑收敛; ()1

.n n B u ∞

=∑发散;

()1

n n C v ∞

=∑发散; ()1

.n n D u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑都发散。

例7、 设级数1

(1)n n u ∞

=-∑收敛,则lim 1n x u →∞

=。

例8、 判别下列级数的敛、散性。(1)2

1

11n n

n ∞

=++∑(讲直接用极限形式的) (2)

n ∞

=;(3)∑∞

=11sin n n (注意可推广1sin 0)p

n a

a n ∞

=>∑( ); (4)1

2sin

3n n

n π

=∑;

例9、 判别下列级数的敛散性:、

(1)12!

n

n n ∞

=∑; (2)12!

n

n n n n ∞=∑;(3)

1

32n

n

n n ∞

=∑. 例10、 下列正项级数收敛的是:

A 1

1

31n n ∞

=+∑ B

2

1

ln n n n ∞

=∑ C 2

2

1

ln n n n ∞

=∑(

) D n ∞

=

例11、 设n n av u ≤(n=1,2,3,4………..) (a >0),且∑∞

=1

n n v 收敛,则∑∞

=1

n n u ( D )

A.必定收敛

B.必定发散

C.收敛性与a 有关

D.以上三个结论都不对 例12、 若)0(lim >=∞

→k k nu n n ①,则正项级数∑∞

=1n n u 的敛、散性为________.

例13、 判别级数的敛散性:

()

1

1

1

1n n n

-=-∑(结论记住,稍后给出一个结论) 例14、 下列级数中,绝对收敛的是(c

) A

1n

n ∞

= B 1

3(1)()2n

n

n ∞

=-∑ C 3

121

1(1)()n n n ∞

-=-∑ D 1

(1)(1)

n n n n ∞

=--∑ 例15、 下列级数中,绝对收敛的是(c ) A

1

sin n n π

=∑ B 1

(1)

sin

n

n n

π

=-∑ C

2

1(1)

sin

n

n n π

=-∑ D

1

cos n n π∞

=∑

例16、 下列结论正确的是(C )

A 若1

n n u ∞

=∑,∑∞

=1n n v 都收敛,则21

()n n n u v ∞

=+∑也收敛

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