第六章 无穷级数(典型例题)
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第六章 无穷级数（3-4道小题，5分一个题）
例1、 考察下述级数的敛、散性(不用全部讲) （1）∑∞
=1n n ； （2）()
.111∑
∞
=+n n n ； （3） (81)
614121++++；
（4） (71)
615141++++； （5）1ln 212
4n n n n ∞
=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；
（6）111111......3923n n
+++++++ ； （7） (43)
3221+++；
（8）....cos ...3cos 2cos cos +++++n π
πππ； （9）12n
n n n ∞
=-⎛⎫
⎪⎝
⎭∑ 例2、 已知级数1
n n u ∞
=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，求n u 。
例3、 若级数1
n n u ∞=∑收敛，记1
n
n i i S u ==∑，则()B
().lim
0n n A S →∞=； ()l i m n n B S →∞
存在； ().lim n n C S →∞可能不存在； (){}.n D S 是单调数列。 例4、 若级数1n n u ∞
=∑收敛，则下列级数中收敛的是：（AE ）
A 110
n n u ∞
=∑ B
1
(10)n
n u ∞
=+∑ C 110
n n u ∞
=∑ D 1
(10)n
n u
∞
=-∑ E
1
10n
n u
∞
=∑
例5、 设1
1
50100n n n n u v ∞
∞
====∑∑，，则()1
23n n n u v ∞
=+∑（D ）
A 发散
B 收敛，其和为100
C 收敛，其和为50
D 收敛，其和为400 例6、 下列条件中，使级数()1n n n u v ∞
=+∑一定发散的是()A
()1.n n A u ∞=∑发散且1
n n v ∞=∑收敛； ()1
.n n B u ∞
=∑发散；
()1
n n C v ∞
=∑发散； ()1
.n n D u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都发散。
例7、 设级数1
(1)n n u ∞
=-∑收敛，则lim 1n x u →∞
=。
例8、 判别下列级数的敛、散性。（1）2
1
11n n
n ∞
=++∑（讲直接用极限形式的） （2）
n ∞
=；（3）∑∞
=11sin n n （注意可推广1sin 0)p
n a
a n ∞
=>∑（ ）； （4）1
2sin
3n n
n π
∞
=∑;
例9、 判别下列级数的敛散性:、
(1)12!
n
n n ∞
=∑; (2)12!
n
n n n n ∞=∑;(3)
1
32n
n
n n ∞
=∑. 例10、 下列正项级数收敛的是：
A 1
1
31n n ∞
=+∑ B
2
1
ln n n n ∞
=∑ C 2
2
1
ln n n n ∞
=∑（
） D n ∞
=
例11、 设n n av u ≤(n=1,2,3,4………..) (a >0),且∑∞
=1
n n v 收敛，则∑∞
=1
n n u （ D ）
A.必定收敛
B.必定发散
C.收敛性与a 有关
D.以上三个结论都不对 例12、 若)0(lim >=∞
→k k nu n n ①，则正项级数∑∞
=1n n u 的敛、散性为________．
例13、 判别级数的敛散性:
()
1
1
1
1n n n
∞
-=-∑（结论记住，稍后给出一个结论） 例14、 下列级数中，绝对收敛的是（c
） A
1n
n ∞
= B 1
3(1)()2n
n
n ∞
=-∑ C 3
121
1(1)()n n n ∞
-=-∑ D 1
(1)(1)
n n n n ∞
=--∑ 例15、 下列级数中，绝对收敛的是（c ） A
1
sin n n π
∞
=∑ B 1
(1)
sin
n
n n
π
∞
=-∑ C
2
1(1)
sin
n
n n π
∞
=-∑ D
1
cos n n π∞
=∑
例16、 下列结论正确的是（C ）
A 若1
n n u ∞
=∑，∑∞
=1n n v 都收敛，则21
()n n n u v ∞
=+∑也收敛