第六章 无穷级数(典型例题)
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第六章 无穷级数(3-4道小题,5分一个题)
例1、 考察下述级数的敛、散性(不用全部讲) (1)∑∞
=1n n ; (2)()
.111∑
∞
=+n n n ; (3) (81)
614121++++;
(4) (71)
615141++++; (5)1ln 212
4n n n n ∞
=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑;
(6)111111......3923n n
+++++++ ; (7) (43)
3221+++;
(8)....cos ...3cos 2cos cos +++++n π
πππ; (9)12n
n n n ∞
=-⎛⎫
⎪⎝
⎭∑ 例2、 已知级数1
n n u ∞
=∑的部分和3n S n =,则当2n ≥时,求n u 。
例3、 若级数1
n n u ∞=∑收敛,记1
n
n i i S u ==∑,则()B
().lim
0n n A S →∞=; ()l i m n n B S →∞
存在; ().lim n n C S →∞可能不存在; (){}.n D S 是单调数列。 例4、 若级数1n n u ∞
=∑收敛,则下列级数中收敛的是:(AE )
A 110
n n u ∞
=∑ B
1
(10)n
n u ∞
=+∑ C 110
n n u ∞
=∑ D 1
(10)n
n u
∞
=-∑ E
1
10n
n u
∞
=∑
例5、 设1
1
50100n n n n u v ∞
∞
====∑∑,,则()1
23n n n u v ∞
=+∑(D )
A 发散
B 收敛,其和为100
C 收敛,其和为50
D 收敛,其和为400 例6、 下列条件中,使级数()1n n n u v ∞
=+∑一定发散的是()A
()1.n n A u ∞=∑发散且1
n n v ∞=∑收敛; ()1
.n n B u ∞
=∑发散;
()1
n n C v ∞
=∑发散; ()1
.n n D u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都发散。
例7、 设级数1
(1)n n u ∞
=-∑收敛,则lim 1n x u →∞
=。
例8、 判别下列级数的敛、散性。(1)2
1
11n n
n ∞
=++∑(讲直接用极限形式的) (2)
n ∞
=;(3)∑∞
=11sin n n (注意可推广1sin 0)p
n a
a n ∞
=>∑( ); (4)1
2sin
3n n
n π
∞
=∑;
例9、 判别下列级数的敛散性:、
(1)12!
n
n n ∞
=∑; (2)12!
n
n n n n ∞=∑;(3)
1
32n
n
n n ∞
=∑. 例10、 下列正项级数收敛的是:
A 1
1
31n n ∞
=+∑ B
2
1
ln n n n ∞
=∑ C 2
2
1
ln n n n ∞
=∑(
) D n ∞
=
例11、 设n n av u ≤(n=1,2,3,4………..) (a >0),且∑∞
=1
n n v 收敛,则∑∞
=1
n n u ( D )
A.必定收敛
B.必定发散
C.收敛性与a 有关
D.以上三个结论都不对 例12、 若)0(lim >=∞
→k k nu n n ①,则正项级数∑∞
=1n n u 的敛、散性为________.
例13、 判别级数的敛散性:
()
1
1
1
1n n n
∞
-=-∑(结论记住,稍后给出一个结论) 例14、 下列级数中,绝对收敛的是(c
) A
1n
n ∞
= B 1
3(1)()2n
n
n ∞
=-∑ C 3
121
1(1)()n n n ∞
-=-∑ D 1
(1)(1)
n n n n ∞
=--∑ 例15、 下列级数中,绝对收敛的是(c ) A
1
sin n n π
∞
=∑ B 1
(1)
sin
n
n n
π
∞
=-∑ C
2
1(1)
sin
n
n n π
∞
=-∑ D
1
cos n n π∞
=∑
例16、 下列结论正确的是(C )
A 若1
n n u ∞
=∑,∑∞
=1n n v 都收敛,则21
()n n n u v ∞
=+∑也收敛