学(一)-第2章 量子力学基础-习题

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习题 3
What do you suppose we mean by A 0 (the zeroth power of an operator) ?
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习题 4
Prove that the product of two linear operators is a linear operator.
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第二章 量子力学基础（基本假定）
2.1 量子力学的建立 2.2 量子力学的基本假设 2.3 量子力学的一些基本概念
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习题
[例题 1 ] 电子对湮没。 [解] 1928年，狄拉克在关于电子的相对论性量子力学理论中， 预言了正电子的存在。1932年，安德森在宇宙射线中观测到了 正电子，其质量与电子相同，电荷则与电子等值异号。一个正 电子(e+)在经过物质时将与原子碰撞而失去大部分能量，逐渐减 速，然后可能被某原子捕获，最后与一个电子(e)一道湮没。 在适当条件下，一个正电子也可能与一个电子形成和氢原子类 似的电子偶素，然后才湮没。电子偶素的寿命相当短，而氢原 子的寿命却非常长。这种湮没也发生在其他的粒子和反粒子之 间。例如，反质子与质子湮没将放出电子、正电子和中微子， 同时还将放出大量的电磁辐射(光子)。
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习题 10 If ψ is a non-normalized wavefunction, and N is a constant such that Nψ is normalized, express N in terms of ψ.
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习题 11
2 , L ] = 0 . [ L α
(α = x , y , z )
2 2
)
c 1 u pe ≈ pe < pe u 2 c
. 这就是说，如果没有第三者原子核参加，则能量守恒和动量守恒两者不可能同时 得到满足。因此，在实际的光电效应过程中，必须有第三者原子核参加。
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来自百度文库
[例题3 ] 自由粒子的德布罗意波长
[解] 对于动量p=mu已知的自由粒子，可利用λ=h/p直 接求 λ；对于质量m和动能Ek已知的自由粒子，在非 相对论情况下，可利用 h h = λ = p 2 m Ek 求λ；若已知温度T，则粒子的热运动动能为 3 Ek = k T 2 , 其中玻耳兹曼常量k = 1.38 × 1023 J / K .
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习题 12
[ Lx , x] = 0
[ Lx , y ] = i z
[Ly , x] = i z
[Ly , y] = 0
[ L y , z] = i x
[ Lz , x] = i y
[ Lz , y ] = i x
[Lx , z] = i y
[ Lz , z ] = 0
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习题 5 Classify these operators as linear or nonlinear: (a) 3x2d2/dx2; (b) ( )2; (c) ∫ dx; (d) exp; (e) ∑nx=1 .
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习题 6 Evaluate
d 2 2 , ax + bx + c dx
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习题 7 Evaluate the commutators: (a)[x, px]; (b) [x, px2]; (c) [x, py]; (d) [x, V(x,y,z)]
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习题 8
Which of the following functions are eigenfunctions of d2/dx2 ? (a) ex; (b) x2: (c) sin x; (d) 3cos x; (e) sin x + cos x . Give the eigenvalue for each eigenfunction.
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习题 1
Let D = d/dx， that (D + x)( D x)=？
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习题 2 (a)Show that (A + B )2 = (B + A )2, for any two operators (linear or nonlinear). (b) Under what condition is (A + B )2= A 2+ B2 +2 A B
1 u /c . 利用上式可得，光子和光电子的动量分别为：
pγ = hν 1 =( 1) m0 c 2 2 c 1 u /c
1) m0 c 2
pe = m u =
1 1 u /c
2 2
m0 u
比较以上两式，可得
c 1 u2 pγ = (1 1 u c ) pe = (1 1 + u 2 c2
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Thank You
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主要参考教材
徐光宪，黎乐民等，《量子化学基本原理和从头算法》（上、中、下册），科学出版社， 1985.（系统介绍理论、方法且资料较齐全） 唐敖庆等，《量子化学》，科学出版社，1982. 第1、2、5、6、7、9 章。 （对从头算的理论基础论述、推导严谨，但程度较深，自学的难度较大） Steiner, E., The Determination and Interpretation of Molecular Wavefunctions, Cambridge University Press,London, 1976. 中译本：钮泽富译，《分子波函数的确定和解释》，上海科学技术出版社，1983. （一本很薄的小册子，但概念阐述清楚，对初学者理解和运用量子化学计算结果颇有帮助） Ira N. Levine, QuantumChemistry, Allyn & Bacon, London, 1974. 中译本：宁世光等译，《量子化学》，人民教育出版社，1980. （美国高校化学系研究生通用的参考书） P.W. Atkins, Molecular Quantum Mechanics, Oxford Univ. Press, Oxford, 1983. 林梦海。《量子化学简明教程》，北京：化学工业出版社，2005 封继康。《基础量子化学原理》，北京：高等教育出版社，1987 李俊篯，田安民。《量子化学》，成都：四川大学出版社，1989
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在电子对湮没时，考虑到动量守恒，至少要产生两个 γ 光 子，即
e+ + e → n γ . (n = 2 , 3 , )
在n = 2的情况下，两个光子的动量数值相同、方向相反。 设所产生的光子的频率为ν，波长为λ，则按能量守恒定律有
2 hν = 2 m0 c 2
可得 ,
λ =
c = h = λC m0 c
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证明 厄密算符的本征函数相互正交 （Two eigenfunctions corresponding to different eigenvalues of an hermitian are orthogonal with each other.）
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在量子力学中有时会出现多个本征函数属于同一个本征值的情况， 称之为“简并”（例如，氢原子轨道角量子数l>0的角动量本征函数就 是简并的，简并度为2l+1）。这些简并的本征函数所描述的状态称 为简并态。容易证明，多个简并的本征函数任意比例的线性组合仍 然是属于同一本征值的本征函数。这样的线性组合可有无限多个（ 但其中线性独立的只有有限个）。故简并的本征函数相互不一定正 交，但通过常规的正交化处理（如Schmidt、Jacobi法等）可得到维 数等于简并度的一个正交的简并本征函数子集。通用的量子化学软 件在作业执行时，均会自动将求得的本征函数正交化。 根据量子力学基本假定，力学量的全部本征函数构成数学完备 集。本定理进一步表明，这样的完备集必定是正交的。此外，按照 惯例，我们约定在量子力学计算中使用的波函数都是归一化的。从 而可得推论：力学量的全部本征函数构成正交归一的数学完备集 (orthonormal complete set)。
其中λC为电子的康普顿波长。
上述分析与实验结果一致，再一次证实了在微观单个事件中能量和动量守恒定律仍 然成立。此外，电子对湮没是爱因斯坦关于静质量直接转化为能量这一理论的令人 信服的例证之一。
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ν
例题
hν = (m m0 ) c 2 = ( 1
2 2
[例题2 ] 试论证在光电效应过程中必须有第三者原子核参加。 [证明] 先假定没有第三者原子核参加，只有光子与静止的自由电子作用，作用后 光子消失，产生光电子；作用前后能量守恒，有
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习题 9
Which of the following are sets of linearly independent functions? (a) x, x2, x6; (b) 8, x, x2, 3x2 1; (c) sin x, cos x; (d) sin z, cos z, tan z; (e) sin x, cos x, eix; (f) sin2 x, cos2 x, 1.
《量子化学》(一） Quantum Chemistry (Part A)
福州大学 化 学 化 工 学 院 福州大学 理论化学与分子设计计算研究所 2008年秋
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本课程主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 数学准备知识（矩阵及其它）(3) 量子力学基础（基本假定）(9) 量子力学的简单应用（单体问题）(9) 原子结构（类氢离子）(12) 多体问题和近似方法(3) 分子结构和分子轨道理论 (12) 自洽场理论和计算方法（6）
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证明对易规则
(1) [A,B]=-[B,A] (2) [A,B+C]=[A,B]+[A,C] (3) [A+B,C]=[A,C]+[B.C] (4) [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] (5) [AB,C]=[A,C]B+A[B,C]
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证明 厄密算符的本征值为实数 The eigenvalues of an hermitian operator must be real.