高等数学(上)02-无穷小的比较教学课件

lim 0
称 是比 高阶的无穷小
lim 称 是比 低阶的无穷小


lim
c0
称
与
是同阶无穷小

lim k
C
0(k

0)
称

是关于

的
k
阶无穷小
lim 1
称 与 是等价无穷小 ~
判断下列无穷小之间的关系
x 0时， x 与 1 x 1
2
x
x ( 1 x 1)
lim 2 lim 2
x0 1 x 1 x0 ( 1 x 1)( 1 x 1)
x ( 1 x 1)
lim 2
1
x0
x
x 0时，x 与 1 x 1 2
三、利用等价无穷小计算极限定理1 设 ~ , ~ , 且 lim 存在，则
4
一、引入
问题：两个无穷小的商如何呢？
当 x 0 时，2x，3x，x2
������ 0.1
0.01
2������ 0.2 0.02
3������ 0.3 0.03
������2 0.01 0.0001
0.001
0.0001
⋯
0.002
0.0002
⋯
0.003
0.0003
⋯
0.000001 0.00000001 ⋯
无穷小的比较
数学组 2017年9月28日
1.无穷小的比较。 2.利用等价无穷小计算极限。
2
第五节 无穷小的比较
一、引入 二、无穷小的比较 三、等价无穷小的应用
3
1.有限个无穷小之和为无穷小． 2.有界函数与无穷小的乘积为无穷小． 3.有限个无穷小的乘积为无穷小． 4.常数与无穷小的乘积为无穷小．
axb
cos
x
x1 x2
lim x0
2 axb

lim
x0
x3 2ax
b
1
a 1
b3
2
作业
习题册
15
lim lim


~ , lim 1,
~ , lim 1,

lim


lim









lim
lim lim
lim
常用的等价无穷小：
x 0, sin x
lim
x0
sin3 x
x 0, sin2 x ~ x2 x2
1 cos x ~ 2
tan x sin x
lim
x0
sin3 x
tan x 1 cos x
lim x0
sin3 x
x 1 x2
lim x0
2 x3
1 2
错误代换
tan x sin x
x x
当 x 0 时，3x 0 与2x 0 快慢差不多 当 x 0时，x2 0 比 2x 0 快得多 当x 0 时，2x 0 比 x2 0 慢得多
lim 3x 3 x0 2x 2
x2 lim 0 x0 2x
2x
lim
x0
x2

二、无穷小的比较
定义
设 , 是 x 的函数， , 0, 且 lim 0, lim 0,
12
练习一 判断下列各对无穷小之间的关系
x 1时， x 1 x 与 x 1 3 x,
1 x
1 x
(1 3 x)(3 x2 3 x 1)
lim 1 x lim x1 1 3 x x1
1 x 13 x
lim (1 3 x)(3
x2 3 x 1)
x tan x
x 1 cos x
x2
2 arcsin x
x
arctan x x ln(1 x) x ex 1 x
tan 2x lim x0 sin 5 x
x 0 tan 2x ~ 2x
tan 2x
2x 2
lim
lim
x0 sin 5 x x0 5 x 5
sin5x ~ 5x
tan x sin x
lim
x0
sin3 x

lim
x0
sin3
x

0
整体代换
10
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小
是 的 k 阶无穷小
11
2. 等价无穷小的代换 在利用等价无穷小作代换时，一般只在积或商的形式 中相互代换，在代数和形式中不能代换否则会改变它 的无穷小量之比的“阶数”，得出错误结论.
3
lim
x2
3
x 1

3
x1 (1 3 x)(1 x)
x1 1 x
2
x 1 x与 x 1 3 x
1 x
练习二
设x 0时，axb与tan x sin x为等价无穷小， 求a, b的值
lim
x0
tan
x sin axb
x

lim
x0
tan
x
1