从量子信息观点看量子统计与热力学
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nS E E |E 2 n E N 12 n .
非对角元
F nm Cn,nj C m ,m j D m nn m jj. j
N
Dnjn mjm
mj m nj n
j1
在热力学极限下
Fnm 0
有效温度
S
p F
F
p
对角化
p1/1 (e)
F F12
S P(F)
P(F)
Effective Temperature
H b b ja ja j b b g ja j h .c
j
j
Y.B Gao , C.P. Sun , PRE, 75, 011105 (2019)
N
e(n{nj})(nn2) nj j |nnjn |n |njn
j
j1
j
gj2 4j
|nj(n)1 nj!D ( jn)a jn|0jD ( jn)|nj
从量子信息观点看量子统计和热力学
孙昌璞 中国科学院理论物理研究所
power.itp.ac/~suncp/quantum.htm
1.量子纠缠与量子统计力学的基础
Temperature and Quantum Phase transition emerge due to entanglement
H. Dong, S. Yang, X.F. Liu, , CPS , 2019 H. Quan, Z. Song, X. Liu, P. Zanardi, CPS , Phys. Rev. Lett. 96, 140604 (2019) Y. B. Gao and CPS, Phys. Rev. E 75, 011105 (2019)
什么是非平衡态有效温度？
统计力学的量子力学基础
统
计
力
学
正则系综
量子纠缠
信息处理的量子化
Rolf Landauer (1927–99)
Landauer 原理, 1964
Peter Shor 大数因子化量子算法1993
Charles H. Bennett
擦出一个比特信息要消耗能量 kTln2
量子密码学 1984
P. Zhang, Y. Wang, CPS, Phys. Rev. Lett . 95, 097204 (2019 ) F. Xue, L. Zhong, Yong Li, and CPS, Phys. Rev. B 75, 033407 (2019)
Quantum Physics and Quantum Information Processing
麦克斯韦妖参入的量子热力学循环
模型
System’s bath
超导电路实现
TS
1 S
S
S
0 S
1 D
D
D
0 D
Demon’s bath
TD
Quan et al Phys. Rev. Lett. 96, (2019)
1d/s
没有违背热力学第二定律的现象
麦克斯韦妖的作用
(1 )S (T S ) D (T D )
计 算 步 数 P(n) 量子离物传态 1993
计算的物理极限与量子计算
Landauer 原理预言了计算的物理极限的存在
摩尔定律（Learn More， 1965）的终结 计算机CPU（中心处理器）的运行速度每十八个月就会增加一倍
麦克斯韦妖“PK” 热力学第二定律
James Clerk Maxwell, Theory of Heat , 1871
(c)
信息擦除需要耗能的物理过程
分子开始以50%的几率分别处于A 和B区域， 信息量S=ln2， 或称为1个比特的信息;
信息擦除后分子在确定的左态。 于是，体系的由S=ln2变为0
(f)
(e)
(d)
妖必须是热机的一部分，参与热力 学循环必须要擦除自己信息，需要
额外的能量 (Bennett ,1979)
P(F)pcot2 h)F (2 r(t)P P ((F F))expe (ff)
p
p
P ( F )
P ( F )
eff4 F2co2(s2 h )cot2 h)(
冯诺伊曼熵和热力学熵
冯诺伊曼熵
S V N P (F )ln P (F )
SVN SEF2cot2 h)(
热力学熵
SEe 1lne (1),
由于相互作用，冯诺依曼熵偏离热力学熵
新奇量子热机
T1
1 2
T2
Scullyet al , Science 299, 862 (2019)
Scully 光子气体热机
比经典系统作正功的条件要苛刻
环境偏离通常的热平衡态，这样的“热库”事先具 有量子相干性，不是处在一个最大混合态上
T1 T2
Quan，Zhang, Sun, Phys. Rev. E 72, 056110 (2019)
A. O. Caldiera , A. J. Leggett, Ann. Phys. (NY) 149, 374(1983).
M-level system
HI n|nn |(gjaH.,c.)
j,n
En,{nj}n N njj
j1
nn2 n j|gj|2/4j
宏观量限制下的微观态个数
系统在n态上，热库状态数
||n||2
|Cn, nj|2
n j En,
||n||2
1 DNE n,
n j En,
S
TrB(|E,E,
|) 1
DN1(E,)
n
||n||2|nn|
DN(En,)|nn|
n DN1(E,)
明显考虑相互作用
H. Dong (董辉), S. Yang, X.F. Liu, , C.P. Sun , quant-ph/0207027
对于其有限子集 S( U ):{Xi,Xj,....,Xk,}
X S X U
X U N 1 Uj X j,
利用大数定律证明广义热化定理
N
|n
Cn, nj |nj
Fra Baidu bibliotek
n j En,
j1
1
DN1(E, )[n,nj]E,
|C(n,nj)|21,
| E,
|n|n
DN1(E,)
n
|C(n,nj)|2 的 平 均 值 是 1
相互作用诱发能壳变形
无相互作用
能壳变形
N V E V E ():{ |n { n j} |E (n n 2 ) jn j E }
j 1
模型的普适性
In the weak coupling limit, any heat bath could be universally modeled as a collection of harmonic oscillators with the linear couplings to the surrounded system accordingly.
等几率假设
统
计
力
学
微正则、正则系综
？ 等几率假设
统计物理基础
平衡态情况
等几率假说
对应于相同的宏观量（能量 E）的 (E微,观) 态中每
个态出现的几率相等
E
P 1
E
(E, )
N
EEnj E
j1
Energy Shell
微正则系综密度矩阵
Sub Energy Shell
E
E
EEn
E En
热库的约束
2.信息擦除、麦克斯韦妖与量子热机
H. Quan, Y. Wang, Y Liu, CPS, F. Nori Phys. Rev. Lett. 97, 180402(2019) H. T. Quan, P. Zhang, CPS, Phys. Rev. E 73, 036122 (2019)
3. 量子控制、纳米机械及其它
p 1 S ,,1 D |1 ,1 1 ,1 | p 1 S ,,0 D |1 ,0 1 ,0 | p S 0 ,,1 D |0 ,1 0 ,1 | p S 0 ,,0 D |0 ,0 0 ,0 |,
V/2
V/2KT
WPdV
V
V
dV KlTn2 V
过去错误的观念认为, 确定系统在哪一 个态上是物理上的一个测量过程，这种 测量是一种不可逆过程，因此需要消耗 能量。
Landauer 信息擦除原理 保护热力学第二定律
香农信息
n
S Pk lnPk k1
麦克斯韦妖作为热机整体的循环过程
(a)
(b)
N(n)E N1n! N jN 1 12 j
E
E
系统总状态数
DN1(E,) N(n)
n
E
EEn
E En
E
相互作用下的热化
S P n n n Fnmn m
n
nm
Diagonal Elements
P n n M [ E 1[ E n(k n)N ] ]1 N1exp n(n)
Maxwell’s demon
低温
： 热力学第二定律开尔文表述
高温
通过一个热力学循环不可能从一个单一热源 提取能量做功， 而不对外界产生影响。
希拉德表述: 单分子热机
循环原理
Leo Szilard, 1932
在宏观层面上破坏热力学第二定律是不 可能的，因为要区分大量分子的个体速 度是非常困难的。 这个佯谬的提出只是 表明热力学第二定律的原则上只能描述 大量粒子组成的宏观物体，是一个统计 性的原理，不能简单地应用到有限粒子 系统。
当随机事件发生的次数很大时，偶然性会互相抵消。 使这些事件的结果的算术平均值在概率意义下十分接 近其数学期望或 “真实值”.
大数定律的不同表述: 弱大数定律(1) 伯努利大数定律(2)、 辛钦-马尔可夫大数定律(3)
大数定律的一个推论
给定的一个大的足够随机的数集合 U:{X1,X2,....,XN,}
QPQIP in ITP CAS
Previous Members: Dr. Y.X. Liu, (Riken) Dr. P. Zhang, (Georgia Tech) Dr. Yong Li , (Basel) Dr. Y. D. Wang, (NTT) Dr. F. Xue, (Riken) Dr. Y.B. Gao (BPTU) Prof. Sixia Yu (UCST) Prof. Xiaoguang Wang (ZJU )
| E,
[n,nj]E,
D C N ( n 1,(n E j,))|njN 1|nj
S T r B (| E , E ,|)nD N D ( N E 1 (E n ,,))|n n |
Based on The Law of Large Numbers (大数定律)
大数定律
Law of large numbers
D N(E ,)D N 1(E ,)
n= E
S(En) S(E)dS(E) n
dE
S(E)n
dS (E) dE
Pn ( )
D N (E n , ) D N 1 ( E , )
D N 1 ( E n , ) D N 1 ( E , )
e n
Pn()en
广义热化定理
Generalized Thermalization
N
| nn |
(m j , n j )
{m j }[ n j ]E n j 1
1
| nn |
1
DN 1 ( E , ) n
[ m j ]E n
n
DN (E n , ) | nn | DN 1 ( E , )
Pn ( ) | nn |
n
统计熵
S(E):ln[D N(E,)]
热力学极限
Present Members Dr. Lan Zhou Hai-Tao Quan Liang He, Zi-Ri Gong Hui Dong, Tao Shi Shuo Yang, Jing-Ning Zhang Prof. Su YI Prof. Chang-Pu Sun
Main Collaborators: Prof. Zi Song (Nankai), Prof. Xue-Feng Liu (PKU), Prof. Franco Nori (UM , Riken) Prof. Paolo Zanardi (ISI), Prof. J.Q. You (Fudan) Prof. Li You (Georgia Tech)
Almost all the pure states of the “Universe ” can give the Canonic Equilibrium State by tracing over the Environment
S. Popescu et al , Nature Physics 2, 754 (2019) S. Goldstein et al., Phys. Rev. Lett. 96, 050403 (2019)
N
EEn j EEn
j1
E,
N
1
DN1E,
|nn|
n,n j E,
|njnj|
j1
N
1
DN1E,
|nn|
|njnj|
n
njEn j1
微正则系综
正则系综
N
S TrE ( ) m j | (E, ) | m j {m j } j 1
1
DN 1 ( E , )
n
非对角元
F nm Cn,nj C m ,m j D m nn m jj. j
N
Dnjn mjm
mj m nj n
j1
在热力学极限下
Fnm 0
有效温度
S
p F
F
p
对角化
p1/1 (e)
F F12
S P(F)
P(F)
Effective Temperature
H b b ja ja j b b g ja j h .c
j
j
Y.B Gao , C.P. Sun , PRE, 75, 011105 (2019)
N
e(n{nj})(nn2) nj j |nnjn |n |njn
j
j1
j
gj2 4j
|nj(n)1 nj!D ( jn)a jn|0jD ( jn)|nj
从量子信息观点看量子统计和热力学
孙昌璞 中国科学院理论物理研究所
power.itp.ac/~suncp/quantum.htm
1.量子纠缠与量子统计力学的基础
Temperature and Quantum Phase transition emerge due to entanglement
H. Dong, S. Yang, X.F. Liu, , CPS , 2019 H. Quan, Z. Song, X. Liu, P. Zanardi, CPS , Phys. Rev. Lett. 96, 140604 (2019) Y. B. Gao and CPS, Phys. Rev. E 75, 011105 (2019)
什么是非平衡态有效温度？
统计力学的量子力学基础
统
计
力
学
正则系综
量子纠缠
信息处理的量子化
Rolf Landauer (1927–99)
Landauer 原理, 1964
Peter Shor 大数因子化量子算法1993
Charles H. Bennett
擦出一个比特信息要消耗能量 kTln2
量子密码学 1984
P. Zhang, Y. Wang, CPS, Phys. Rev. Lett . 95, 097204 (2019 ) F. Xue, L. Zhong, Yong Li, and CPS, Phys. Rev. B 75, 033407 (2019)
Quantum Physics and Quantum Information Processing
麦克斯韦妖参入的量子热力学循环
模型
System’s bath
超导电路实现
TS
1 S
S
S
0 S
1 D
D
D
0 D
Demon’s bath
TD
Quan et al Phys. Rev. Lett. 96, (2019)
1d/s
没有违背热力学第二定律的现象
麦克斯韦妖的作用
(1 )S (T S ) D (T D )
计 算 步 数 P(n) 量子离物传态 1993
计算的物理极限与量子计算
Landauer 原理预言了计算的物理极限的存在
摩尔定律（Learn More， 1965）的终结 计算机CPU（中心处理器）的运行速度每十八个月就会增加一倍
麦克斯韦妖“PK” 热力学第二定律
James Clerk Maxwell, Theory of Heat , 1871
(c)
信息擦除需要耗能的物理过程
分子开始以50%的几率分别处于A 和B区域， 信息量S=ln2， 或称为1个比特的信息;
信息擦除后分子在确定的左态。 于是，体系的由S=ln2变为0
(f)
(e)
(d)
妖必须是热机的一部分，参与热力 学循环必须要擦除自己信息，需要
额外的能量 (Bennett ,1979)
P(F)pcot2 h)F (2 r(t)P P ((F F))expe (ff)
p
p
P ( F )
P ( F )
eff4 F2co2(s2 h )cot2 h)(
冯诺伊曼熵和热力学熵
冯诺伊曼熵
S V N P (F )ln P (F )
SVN SEF2cot2 h)(
热力学熵
SEe 1lne (1),
由于相互作用，冯诺依曼熵偏离热力学熵
新奇量子热机
T1
1 2
T2
Scullyet al , Science 299, 862 (2019)
Scully 光子气体热机
比经典系统作正功的条件要苛刻
环境偏离通常的热平衡态，这样的“热库”事先具 有量子相干性，不是处在一个最大混合态上
T1 T2
Quan，Zhang, Sun, Phys. Rev. E 72, 056110 (2019)
A. O. Caldiera , A. J. Leggett, Ann. Phys. (NY) 149, 374(1983).
M-level system
HI n|nn |(gjaH.,c.)
j,n
En,{nj}n N njj
j1
nn2 n j|gj|2/4j
宏观量限制下的微观态个数
系统在n态上，热库状态数
||n||2
|Cn, nj|2
n j En,
||n||2
1 DNE n,
n j En,
S
TrB(|E,E,
|) 1
DN1(E,)
n
||n||2|nn|
DN(En,)|nn|
n DN1(E,)
明显考虑相互作用
H. Dong (董辉), S. Yang, X.F. Liu, , C.P. Sun , quant-ph/0207027
对于其有限子集 S( U ):{Xi,Xj,....,Xk,}
X S X U
X U N 1 Uj X j,
利用大数定律证明广义热化定理
N
|n
Cn, nj |nj
Fra Baidu bibliotek
n j En,
j1
1
DN1(E, )[n,nj]E,
|C(n,nj)|21,
| E,
|n|n
DN1(E,)
n
|C(n,nj)|2 的 平 均 值 是 1
相互作用诱发能壳变形
无相互作用
能壳变形
N V E V E ():{ |n { n j} |E (n n 2 ) jn j E }
j 1
模型的普适性
In the weak coupling limit, any heat bath could be universally modeled as a collection of harmonic oscillators with the linear couplings to the surrounded system accordingly.
等几率假设
统
计
力
学
微正则、正则系综
？ 等几率假设
统计物理基础
平衡态情况
等几率假说
对应于相同的宏观量（能量 E）的 (E微,观) 态中每
个态出现的几率相等
E
P 1
E
(E, )
N
EEnj E
j1
Energy Shell
微正则系综密度矩阵
Sub Energy Shell
E
E
EEn
E En
热库的约束
2.信息擦除、麦克斯韦妖与量子热机
H. Quan, Y. Wang, Y Liu, CPS, F. Nori Phys. Rev. Lett. 97, 180402(2019) H. T. Quan, P. Zhang, CPS, Phys. Rev. E 73, 036122 (2019)
3. 量子控制、纳米机械及其它
p 1 S ,,1 D |1 ,1 1 ,1 | p 1 S ,,0 D |1 ,0 1 ,0 | p S 0 ,,1 D |0 ,1 0 ,1 | p S 0 ,,0 D |0 ,0 0 ,0 |,
V/2
V/2KT
WPdV
V
V
dV KlTn2 V
过去错误的观念认为, 确定系统在哪一 个态上是物理上的一个测量过程，这种 测量是一种不可逆过程，因此需要消耗 能量。
Landauer 信息擦除原理 保护热力学第二定律
香农信息
n
S Pk lnPk k1
麦克斯韦妖作为热机整体的循环过程
(a)
(b)
N(n)E N1n! N jN 1 12 j
E
E
系统总状态数
DN1(E,) N(n)
n
E
EEn
E En
E
相互作用下的热化
S P n n n Fnmn m
n
nm
Diagonal Elements
P n n M [ E 1[ E n(k n)N ] ]1 N1exp n(n)
Maxwell’s demon
低温
： 热力学第二定律开尔文表述
高温
通过一个热力学循环不可能从一个单一热源 提取能量做功， 而不对外界产生影响。
希拉德表述: 单分子热机
循环原理
Leo Szilard, 1932
在宏观层面上破坏热力学第二定律是不 可能的，因为要区分大量分子的个体速 度是非常困难的。 这个佯谬的提出只是 表明热力学第二定律的原则上只能描述 大量粒子组成的宏观物体，是一个统计 性的原理，不能简单地应用到有限粒子 系统。
当随机事件发生的次数很大时，偶然性会互相抵消。 使这些事件的结果的算术平均值在概率意义下十分接 近其数学期望或 “真实值”.
大数定律的不同表述: 弱大数定律(1) 伯努利大数定律(2)、 辛钦-马尔可夫大数定律(3)
大数定律的一个推论
给定的一个大的足够随机的数集合 U:{X1,X2,....,XN,}
QPQIP in ITP CAS
Previous Members: Dr. Y.X. Liu, (Riken) Dr. P. Zhang, (Georgia Tech) Dr. Yong Li , (Basel) Dr. Y. D. Wang, (NTT) Dr. F. Xue, (Riken) Dr. Y.B. Gao (BPTU) Prof. Sixia Yu (UCST) Prof. Xiaoguang Wang (ZJU )
| E,
[n,nj]E,
D C N ( n 1,(n E j,))|njN 1|nj
S T r B (| E , E ,|)nD N D ( N E 1 (E n ,,))|n n |
Based on The Law of Large Numbers (大数定律)
大数定律
Law of large numbers
D N(E ,)D N 1(E ,)
n= E
S(En) S(E)dS(E) n
dE
S(E)n
dS (E) dE
Pn ( )
D N (E n , ) D N 1 ( E , )
D N 1 ( E n , ) D N 1 ( E , )
e n
Pn()en
广义热化定理
Generalized Thermalization
N
| nn |
(m j , n j )
{m j }[ n j ]E n j 1
1
| nn |
1
DN 1 ( E , ) n
[ m j ]E n
n
DN (E n , ) | nn | DN 1 ( E , )
Pn ( ) | nn |
n
统计熵
S(E):ln[D N(E,)]
热力学极限
Present Members Dr. Lan Zhou Hai-Tao Quan Liang He, Zi-Ri Gong Hui Dong, Tao Shi Shuo Yang, Jing-Ning Zhang Prof. Su YI Prof. Chang-Pu Sun
Main Collaborators: Prof. Zi Song (Nankai), Prof. Xue-Feng Liu (PKU), Prof. Franco Nori (UM , Riken) Prof. Paolo Zanardi (ISI), Prof. J.Q. You (Fudan) Prof. Li You (Georgia Tech)
Almost all the pure states of the “Universe ” can give the Canonic Equilibrium State by tracing over the Environment
S. Popescu et al , Nature Physics 2, 754 (2019) S. Goldstein et al., Phys. Rev. Lett. 96, 050403 (2019)
N
EEn j EEn
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DN1E,
|nn|
n,n j E,
|njnj|
j1
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1
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微正则系综
正则系综
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