一元一次方程的应用(二)

一元一次方程的应用（二）

知识点一：“希望工程”义演

1、等量关系的确定

列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个方面确定等量关系：

(1) 抓住问题中的关键词，确定等量关系．如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词．

(2) 利用公式或基本数量关系找等量关系．

(3) 从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．

例1、刘成用150元买了甲、乙两种书，共20本，甲种书单价10元，乙种书单价5元，则刘成买了这两种书各多少本？

2、未知数的设法

较复杂的问题，未知量可能有两个或两个以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便．

未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数．另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答．

(1) 直接设未知数

直接设未知数，就是题目中问什么就设什么．对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难．

(2) 间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程．(3) 设辅助未知数

在列方程解应用题时，有时为了解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数．这些未知数在解方程的过程中，往往是约掉了或者抵消了，最后求出的问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数．

例2、一位老人立下遗嘱：把17头牛按1

2

，

1

3

，

1

9

分给他的大儿子、二儿子、三儿

子，问三个儿子各分得多少头牛？

例3、高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重．

3、几种复杂的应用问题

含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：

(1)按比例分配问题

按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题．比例分配问题中的相等关系是：

不同成分的数量之和＝全部数量．

(2)工程问题

工程问题中的相等关系是：

工作量＝工作效率×工作时间；

甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；

甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．

解答工程类问题时，常常把总工作量看成整体 1.找出工作效率(即单位时间内的工作量)是解答的关键．

(3)资源调配问题

资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以很清晰地表达出各个数量之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．

例4、甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15 天完成．否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．

(1) 正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？

(2) 现两人合作了该工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，问调走谁更合适一些？为什么？

知识点二：追赶小明

1．行程问题中的基本关系式

行程问题是在匀速运动的条件下，所有研究物体运动的路程、速度和时间，及运动状态的问题的统称．

行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系：

①路程＝速度×时间；

②速度＝路程时间

；

③时间＝路程速度

.

例1、一列火车从车头进隧洞到车尾出隧洞共用了10分钟，已知火车的速度是

500米/分，隧洞长为4800米，问这列火车长是多少米？

2．相遇问题的解决方法

相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行．如图1就是相遇问题．图2也可看成相遇问题来解决．

相遇问题中的相等关系

①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程；

②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程，即s甲＋s乙＝s总；

③甲用的时间＝乙用的时间．

例2、A，B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米．甲车出发 25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米．

(1) 几小时后两车相遇？

(2) 两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶．那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？

3.追及问题的解决方法

追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类：

①同时不同地，如下图：

等量关系：乙的行程－甲的行程＝行程差；

速度差×追及时间＝追及距离．即s乙－s甲＝s差．甲用的时间＝乙用的时间．

②同地不同时，如下图：

等量关系：甲的行程＝乙的行程．即s甲＝s乙．

“同时不同地”中，双方行驶所用的时间相同，行驶的路程却不同(出发点不同)；而“同地不同时”中，由于行驶双方出发时间有先后，故行驶过程中

用的时间不同，双方出发地相同，故行驶的路程相同．

例3、李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？

例4、甲、乙两人从同地出发前往某地．甲步行，每小时行6千米，先出发1.5小时后，乙骑自行车出发，又过了50分钟，两人同时到达目的地，问乙每小时行多少千米？

4．航行(飞行)问题与环行问题

(1)航行(飞行)是指轮船的航行或飞机的飞行，也属于行程问题．

航行问题中的基本概念：

①静水速度：轮船在不流动的水中行驶的速度；

②顺水速度：轮船顺着水流的方向航行的速度；

③逆水速度：轮船行驶方向与水流的方向相反时的航行速度；

④水速：水自身流动的速度．

航行或飞行中会受到水速或风速的影响，因此此类问题的基本关系是：

①顺水速＝静水速＋水速，顺风速＝无风速＋风速；

②逆水速＝静水速－水速，逆风速＝无风速－风速．

(2)环行问题

环行问题即沿环行路的行程问题，有以下两种情况：

①甲、乙两人在环形道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的．

即快者走的路程＝慢者走的路程＋一圈的路程．

②甲、乙两人在环形道上同时同地反向出发：两人首次相遇时的总路程为环形道的一圈长．

即甲走的路程＋乙走的路程＝一圈的路程．

例5、一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今往返于某河，逆流时用了10时，顺流时用了6时，求此河的水流速度．

例6、甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．

(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

(2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？