6_高斯光束

我们令光束部分为熟知的类Gauss光束形式
超短脉冲光束的一般传输问题

脉冲光束的类Gauss光束解
izR E x , , z x, q, P ' d q 2 iz R x, q, ' P ' q 2

超短脉冲光束的一般传输问题

传输基本方程
引进移动坐标 ，z Laplace算子 。 t c
2 2 E x , z , t 0 2 2 c
2 2
z
， 为横向 2

超短脉冲光束的一般传输问题

Fourier变换可以得到在频率域中的脉冲光 束的传输方程是
P 2 p
超短脉冲光束的一般传输问题

其中
p 1 2

和Heaviside阶梯函数

pt exp it dt
1, 0 0, 0
超短脉冲光束的矢量场传输


我们从Maxwell方程组出发可得到光矢量场 在频率域中的传输方程。 横向电场方程
超短脉冲光束的一般传输问题

脉冲光束初始时的轴上光强的实函数表示 为余弦函数
pt At cos0t

按照缓变包络近似理论（SVEA）对应的复 函数表示为
T t At exp i 0t .
超短脉冲光束的一般传输问题

则按照缓变包络近似理论得到脉冲类Gauss 光束的解

纵向场
E z x , , z
i 2 x x' E x' , ' ,0d x' 2 2z c '

超短脉冲光束的矢量场传输

考虑类Gauss光束，在横向场脉冲光束的类 Gauss光束解
izR E x, , z q 2


x , q , P ' d
iz R x, q, ' P ' q 2
超短脉冲光束的矢量场传输

其中
1 x, q, 2


~ x, q, exp id

纵向场
E z x , , z
i 2 x x' E x' , ' ,0d x' 2 2z c '

超短脉冲光束的矢量场传输

横向电场的一般积分解
1 2 E x, , z E x ' , ' , 0 d x ' 2z '
超短脉冲光束的矢量场传输

可以用Hermite多项式来扩展开
~ q x , q, cmn q * mn
m n 2

H m C xH n C y
其中
， z R k 是复权重因子。 C cmn 2
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
波动方程
波动方程
平面波
球面波
有限大小波的衍射
衍射
远场衍射
傍轴方程
光束传输－傍轴方程
傍轴近似
傍轴方程
高斯光束
高斯光束
高斯光束
高斯光束
高斯光束
高斯光束
高斯光束
高斯光束聚焦与矩阵光学
高斯光束聚焦
高斯光束聚焦
高斯光束聚焦
高斯光束聚焦
矩阵光学（ABCD定理）
1 P( ) 2
'


P( ) exp i 'd
超短脉冲光束的矢量场传输

脉冲类Gauss光束表示纵向场为
Ez x , z, t
其中
zR ' x, z, ' P ' q 2

x ~ 1 ' x, q, i q k x, q, exp i d 2

其中
1 x, q, 2


~ x, q, exp id
1 P( ) 2
'


P( ) exp i 'd
超短脉冲光束的一般传输问题

对Gauss光束而言

脉冲类Gauss光束解
~ x, q, 1
iz R iz R E x , , z ( ' ) P ' P ' q q
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学
矩阵光学表征衍射
激光光束质量的品质因子M2
光束质量的描述

三阶距
四阶距

光束的线性传输
真空中理论脉冲光束传输
超短脉冲光束的一般传输问题 超短脉冲光束的矢量场传输


超短脉冲光束的一般传输问题

2 ~ 2ik E x, , 0 纵向电场和横向场的关系
~ Ez x , ,
k
i
~ E x , ,
超短脉冲光束的矢量场传输


同样我们也可以得到磁场的类似的矢量关 系。 磁场和电场之间的关系
傍轴近似条件
2
2 ~ 2ik E x, , 0
~ ~ E x , , k E x , , 2
超短脉冲光束的一般传输问题

脉冲光束的积分解（频率域中）
1 k ~ ~ E x , , E x,0, 2 z ik 2 2 x x ' d x ' exp 2z

超短脉冲光束的一般传输问题
2 x ~ iz R ~ E x , , z exp ik x , q , P 2q q kw0 q z iz R z i 为q参数。实验中可 2
以控制其为与频率无关。P为脉冲部分的Fourier变 换。
2. 惠更斯－菲涅耳原理 设波阵面上任一源点 列积分式计算： u ( P) 的光场复振幅为 P' ，则空间任一观察点 P的光场复振幅 u ' ( P' ) 由下
ik u ( P) 4


u' ( P)eik

(1 cos )ds'
式中 为源点 与观察点 之间的距离； 为源点 处的 P' P P' 波面法线 与 n 的夹角； 为光波矢的大小， 为光 k 2 / P' P 波长； ds ' P' 为源点 处的面元。
我们会发现这时解在脉冲很短时存在着空间 奇点而在脉冲变长后奇点产生的位置变大 是我们可以忽略它们的产生。
iz R E x , , z x, q, ' T ' q 2
超短脉冲光束的一般传输问题

百度文库
为了克服缓变包络近似理论产生的空间奇 异性问题，我们利用复解析信号（Complex Analysis Single）分析法。 即可以构造出光场实函数p(t)所对应的CAS 复表示P(t)，其Fourier变换
~ 0c ~ H x , , i E x , , k
超短脉冲光束的矢量场传输

横向电场的一般积分解
1 2 E x, , z E x ' , ' , 0 d x ' 2z '

超短脉冲光束的一般传输问题

脉冲光束的一般积分解

其中
1 2 E x , , z E x ' , ' ,0d x ' 2z '
1 ~ 2 Ex, ' ,0 E x ' , ,0exp i 'd x ' 2 2 2 x z x ' t 2cq c 2cq
q
超短脉冲光束的矢量场传输

可得数量级关系
~ 1 1 ~ ~ z x, q, ix 0 1 x, q, ~ x, q, q kw0



因此电场分量之间的数量级关系
1 Ez x , z, t ~ E x , z, t kw0
光线的传播及高斯光束
傍轴方程与高斯光束
广义衍射理论

惠更斯－菲涅耳原理
菲涅耳－基尔霍夫公式
菲涅耳衍射积分公式－傍轴
夫琅和费衍射积分公式－远场
3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
1.惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻 新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。