高三数学一轮复习：函数的单调性与最值

整理ppt
7
[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图 象上有什么特征？
提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降 的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐 标的值．
整理ppt
8
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)函数 f(x)＝x－2 1 ，x∈[2,6]，则下列说
法正确的有________． ①函数 f(x)为减函数；②函数 f(x)为增函数；③函数
整理ppt
5
2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单 调递增区间为[a，b]含义相同吗？
提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不 能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区 间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增．
整理ppt
6
2．函数的最值
解：任取 1≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝
(x1－x2)
x1＋x2 x21＋1＋
x22＋1－a，
∵f(x)单调递增，所以 f(x1)－f(x2)<0.
整理ppt
16
又 x1－x2<0，那么必须
x1＋x2 x12＋1＋
x22＋1－a>0
恒成立．
整理ppt
13
函数单调性的判断或证明
[例 1] 已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax，其中 a>0.
(1)若 2f(1)＝f(－1)，求 a 的值；
(2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单
调减函数． [自主解答] (1)由 2f(1)＝f(－1)，
可得 2 2－2a＝
2＋a，得
区间I内的任意两个值x1，x2
定 当x1<x2时，都有 义 f(x1)<f(x2) ，那么就
说y＝f(x)在区间I上是
单调增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ， 那么就说y＝f(x)在区间I上是 单调减函数
整理ppt
3
增函数
减函数
图象
描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 _逐__渐_上__升__的___ _逐_渐__下__降__的___
整理ppt
10
3．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x<f(1)的实数 x 的取值范围是________．
解析：∵函数 f(x)为 R 上的减函数，
且 f1x<f(1)， ∴1x>1，即|x|<1 且|x|≠0. ∴x∈(－1,0)∪(0,1)．
答案：(－1,0)∪(0,1)
整理ppt
前提
设函数y＝f(x)的定义域为A
条件 结论
如果存在x0∈A，使得 如果存在x0∈A，使得
对于任意的x∈A，都 对于任意的x∈A，都
有__f(_x_)≤__f_(x_0_)__
有f(x)≥f(x0)
称f(x0)为y＝f(x)的最大 称f(x0)为y＝f(x)的最小 值，记为 _y_m_ax_＝__f(_x_0)__ 值，记为ymin＝f(x0)
11
4．(教材习题改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在[5,20]上是单
调递增函数，则实数 k 的取值范围是________． 解析：∵函数 f(x)＝4x2－kx－8 的对称轴为 x＝k8， 又函数 f(x)在[5,20]上为增函数，
∴k8≤5，即 k≤40. 答案：(－∞，40]
整理ppt
(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是 单调增函数 或 单调减函数 ，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有(严格 的)单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
整理ppt
4
[探究] 1.函数 y＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，这种表示法对吗？
提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用 集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间 应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不 能用“或”联结．
整理ppt
1
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.理解函数 1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要
的单调性、 考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比
最大值、 较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域
最小值及其 或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问
几何意义. 题，如2009年高考T3，T10.
a＝
2 3.
整理ppt
14
(2)证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1) － f(x2) ＝ x21＋1 － ax1 － x22＋1 ＋ ax2 ＝
x22＋1－a(x1－x2)
＝
x21－x22 x21＋1＋
x22＋1－a(x1－x2)
＝(x1－x2)
x1＋x2 x21＋1＋
2.会利用函数 2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般
的图象理解 情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结
和研究函数 合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值
的性质.
的基本方法，如2011年高考T19
整理ppt
2
1．函数的单调性 [归纳 知识整合] (1)单调函数的定义：
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于
x22＋1－a.
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1，
∴0< x21＋x11＋＋x2x22＋1<1.
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．整理pLeabharlann tx21＋1 －15
保持本例条件不变，若 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函
数，求 a 的取值范围．
解f(x析)的：最易大知值函为数2f；(x)④＝函x－2数1在f(x)x的∈最[2小,6]值上为为25减. 函数，故
f(x)min＝f(6)＝25，f(x)max＝f(2)＝2. 答案：①③④
整理ppt
9
2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ________． 解析：使 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数， 则 2k＋1<0，即 k<－12. 答案：k<－12
12
5．(2012·无锡调研)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单 调递增，则a的取值范围为________．
解析：令 m＝ax－1，则函数 y＝log2(ax－1)在(1,2)上 单调递增等价于 m＝ax－1 在(1,2)上单调递增，且 ax
－1>0 在(1,2)上恒成立，所以aa>－01，≥0， 即 a≥1. 答案：[1，＋∞)