疲劳裂纹特征
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σr
103(104)
N0
lgN
图3.2 疲劳曲线
疲劳极限——在循环特性r 下的变应力，经过N次循环后，材料 不发生破坏的应力的最大值。
表示方法为： 疲劳曲线——表示循环次数N～σrN或τrN之间的变化关系的曲线。
N0——循环基数
有限寿命区（N< N0）
低周循环疲劳区——0<N<103(104) 疲劳极限接近屈
S Sa
kN 1 k D a
（2）屈服强度安全系数
S
s
S第三强度理论
2 m
ax
4
2 m
ax
S
s
s第四强度理论
2 m
ax
3
2 m
ax
2.低塑性和脆性材料的安全系数
S S S S
S S
非对称循环可以折算成对称循环即在公式中单向应力安全系 数以非对称循环时计算仍用上述公式计算。
S a
a
a
(k
kN 1 )D a a m
kN 1 ae
S a
S a
a
a
k N 1 (k )Da m
kn 1 ae
S
a
ae (k ) a m ae (k )D a m
以上的抛物线图为实验所得的塑性材料疲劳极限应 力图，折线为塑性材料简化的疲劳极限应力图，由图可 知：零件的工作状态点应处于安全区（折线ABES以内）， 且距离ABES折线越远，工作应更安全。
3.3 影响机械零件疲劳强度的主要因素
3、3、1 应力集中的影响，影响系数为kσ kτ
k 1 q( 1) k 1 q( 1)
对于脆性材料的零件，应按第一强度理论确定强 度准则，即：
1 2
W
2 W
4
2 T
s
2 b
s
W
2 w
4
2 T
（1）
疲劳强度安全系数（有关公式化）
S
kN 1
(k ) a
2 ( 1 )2 1
(k
由图可知： C 和 C1——分别为疲劳安全和塑性安全区的工作点 Cˊ和C1ˊ——分别为与C和Cˊ相对应的应力（单向）增长极限 点
1. 几何法求安全系数 由图中可知工作点C： σ=σm + σa
极限点C’ σlim=σ’m+σ’a=σ’
S
m' a ' m a
OG GC OH HC
)
简化疲劳极限曲线 B( 0 , 0 )
22
C m , a
C m , a 许用疲劳极限曲线
B( , ) kN0 kN0 2 2(k )D
E
屈 服
极
限
曲
线
许用疲劳极限应力图
135º
S(бS ,0)
m
图中： A点,A'点——分别为对称循环变应力下疲劳极限点和许用疲劳 极限点 B点和B'点——分别为脉动循环变应力下疲劳极限点和许用疲 劳极限点 E点和E'点——分别为简化疲劳极限曲线与屈服极限曲线的交 点以及许用疲劳极限曲线与屈服极限曲线的交点 S点——屈服极限点
对塑性材料的零件应按第三或第四强度理论确定强度准 则。
第四强度理论适用于拉、切应力的复合应力，其强度准
则：
12
3
2 T
第三强度理论适用于弯、扭复合应力，其强度准则：
2 W
4
2 T
上述两种强度准则用安全系数表达式为：
s s s s
s2 s2
3.4.2 许用疲劳极限应力图
在简化疲劳极限应力线图的基础上考虑综合影响系数 （kσ）D （ kτ）D和寿命系数 kN 影响后而得到的。
说明：
综合影响系数（kσ）D （ kτ）D只对极限应力幅σa 有影响，而寿命系数KN同时对极限应力幅和平均应力有 影响。
a
A0, 1
A(0,
kN 1 ( K )D
2 b
( s s
)2
2 T
s
S
变应力强度
(k )D a
2
( 1 )2 1
(k )Da
2
kN 1
S
其中 1 的取值为第三、第四强度理论
wenku.baidu.com
1
分别为
1 2 1
1 3 1
复合应力状态下工作的零件其强度计算：
静应力下：
（1）单向应力安全系数
S
lim
S
S
lim
103（104）≤N≤N0范围的变化曲线方程为——疲
劳方程
mrN N mr N0 c
m rN
N
mr
N0
C
即
rN
m
N0 N
r
kN
r
rN kN r
说明： １、式中，ｍ—为随材料和应力状态而变化的幂指数，钢受弯曲、 拉伸、剪切应力时ｍ＝９，钢线接触时ｍ＝６，青铜弯曲应力时 ｍ＝９，接触应力时ｍ＝８。
2、零件的极限应力幅÷综合影响系数
3.4 许用疲劳极限应力图
3.4.1 稳定变应力和非稳定变应力 稳定变应力——每次循环中，σm，σa和周期T都不随时间t而变
化的变应力。 非稳定变变应力——每次循环中只要σm，σa和T其中之一随时
间t而变化的应力 它分为两种：
（1）周期性非稳定变应力——由于载荷或工作转速的变化作周 期性规律变化的变应力 （2）随机性非稳定变应力——由于载荷或工作转速的变化作非 周期性规律变化的应力
在变应力工作下的零件，疲劳断裂是最主要的失效形式之一。 零件的疲劳断裂占零件断裂的80%。
疲劳断裂截面→表面光滑的疲劳发展区+粗糙的脆性断裂区。 见书中图3.1和表3.1。
3.2 疲劳曲线和疲劳极限应力图
3.2.1 疲劳曲线 （σ—N或τ—N曲线）
有限寿命区
无限寿命区
LgσrN
低周循环
高周循环
A B
OC OC
Sa
a
a
GC HC
OC OC
由此可知: S Sa ，计算时选择任一种方法即可。
例如：
工作点Cˊ安全系数的计算如下：
S
Sa
S a m
OL LC1' OM MC1
OL LC1' OC1' OM MC1 OC1
注意其中σˊ=σs σs 为屈服强度极限，说明此时只需进行
其中： ae 和τae是由非对称循环应力折算成的当量对称循环变应 力。
对塑性材料，当工作点位于塑性安全区，则应验算屈服强
度安全系数
S
s a m
S
S
S a m
S
图解法和解析法的特点比较：前者计算简单，且能根据工 作点所处的位置直接判断区域性质；后者计算精确，但常不 能直接判断工作点所在的工作区域，因此为安全计疲劳强度 和屈服强度安全系数都应计算。
, ——考虑零件几何形状的理论应力集中系数
q——考虑材料应力集中感受程度的敏感系数
3、3、2 尺寸的影响，影响系数为εσ ，ετ
3、3、3 表面状态的影响，影响系数为βσ βτ 综合影响系数
计算时：
(k )D
k
,
(k
)D
k
1、零件的工作应力幅×综合影响系数（对平均应力影响很小）。
3.4.3 工作应力增长规律 三种规律： 1）r=常数,例如转轴（既承受弯距又承受转距）的弯曲变应 力——简单加载 2）σm =常数 （如振动中的受载弹簧中应力状态）——复杂 加载 3）σmin =常数（如紧螺栓联接中螺栓受轴向变载荷时的应力 状态）—复杂加载 三种规律是根据零件载荷变化规律以及零件与相邻零件的互 相约束情况的不同而分析的可能的三种规律。
)D a
2
kN 1
kN 1
k
D a
kN 1 2
2
2
1 1
k
2
Da
kN 1 2
其中
1
S S S
1 S 2
1 S 2
S 2 S 2
S Sa
kN 1 , k D a
静强度计算。
Sτ和Sτa 的求解方法和以上相同。
2.
解析法求安全系数 Sa 工作点C的安全系数求解：
a
a
公式中σa 由应力状态决定是已知量，而σaˊ必须求出。 通过求解AˊBˊ点AˊCˊ点两点直线方程而得到：
k N 1
k
D
kN 0
2k D
kN 0
k N 1
k
D
a
m
2
a
kN 1 (k )D
1 (k ) dD
m
2 1 0 0
( a
1
0
0
2
tg )
2
对于切应力，同理得：
a
kN 1
(k )D
1 (k )D
m
2 1 0 0
式中：ψσ ，ψτ——平均应力折合为应斩幅的等效系数，其 大小表示材料对循环不对称性的敏感程度。例如：碳钢
服极限,几乎与N无关。 高周循环疲劳区——103(104)≤N，疲劳极限随循环次
数的增加而降低。
无限寿命区（N≥N0）
疲劳极限与N无关，呈直线变化。所谓“无限”寿命 是指零件承受的变应力水平低于或等于材料的疲劳极 限σr，工作应力总循环次数可大于循环基数N0,并不是 说永远不会产生破坏。
不同应力变化时的循环疲劳极限表示为： 有限寿命区： σrN ，τrN 无限寿命区：σr,τr；σ0、τ0，σ-1、τ-1
ｋ为寿命系数，
m lg N0 lg N
lg rN lg r
LgσrN σrN
σr
1 m
lgN
N
N0
图3.3 疲劳曲线的指数m
2.循环基数Ｎ０ 据材料性质不同Ｎ０取值也不同。通常金属的 Ｎ０取为107，随着材料的硬度↑，Ｎ０↑。具体划分见书P38。 有色金属及高强度合金钢的疲劳曲线没有无限寿命区。
以上是应力增长规律r=常数时的安全系数计算， 其余两种规律下的σm、τm =常数和σmin、τmin=常数 时的疲劳安全系数计算和塑性材料屈服强度安全系数
计算见书P49表3.3。
3.5.2 复合应力状态时安全系数(双向稳定变应力时的
疲劳强度计算)
1.塑性材料(在对称循环弯扭复合应力作用下)
静应力强度
Sτ，Sτa——机械零件疲劳强度最大剪应力安全系数和剪应 力幅安全系数
3.5.1 单向应力状态时的安全系数（r=常数时的机械零件单向加
载）
1 a
r min m a max m a
1
m a
常数
m
由此式可知：欲使r=常数，则σa，σm应按同一比例增长。
a
疲劳失效区
A(0,σ-1)
B 0 , 0 2 2
E
安 全区
0
塑性失效 区
S(σs,0)
F(σB,0)
m
图3.8 塑性材料简化疲劳极限应力图
图中各状态点说明：
Ａ点——对称循环疲劳极限点（０，σ-1） B点——脉动循环疲劳极限点 F点——静强度极限点（σB，0） S点——屈服极限点（σS，0）
两种计算方法：
A 安全—寿命设计 在规定的工作时间内，不允许零件出现疲 劳裂纹，一旦出现即为失效。可按σ——N曲线进行有限寿命和疲 劳寿命疲劳计算，这也是本章介绍的计算方法。
B 破坏—安全设计 允许零件存在裂纹并缓慢扩展，但须保证 在规定的工作周期内，仍能安全可靠地工作。可按疲劳裂纹寿命计 算。
3.1 疲劳裂纹特征
ψσ=0.1∽0.2，合金钢ψσ=0.2∽0.3，所以材料强度↑，则 ψσ↑。
返回 将
m
m
a
a
和
m
m
a 的关系分别代入
a
上两式得应力 幅如下：
a
(k
kN 1 )D
m a
a
(k
kN 1 )D
m a
按应力幅求安全系数如下：
３. 不同循环特性ｒ时的疲劳曲线如图所示，ｒ↑→σrN↑、 （τrＮ↑）
LgσrN
r3=0.5 r2=0 r1=-1
0
104
107
lgN
图3.4 不同r时的疲劳曲线
３.２.２ 疲劳极限应力图
疲劳极限应力图表明材料在相同循环次数Ｎ和不同循环 特性ｒ下的不同疲劳极限。用以以应力大小来判断零件工作 的安全区域和失效区域。由实验得出。
A΄
a
C’
A’ a
C’ B’
c
α
m
m
o
s
σm
S
• r=常数
a
b) σm=常数
三种工作应力增长规律
a
A’
σ min
C’ C
S
m
c)σmin=常数a 三种工作应力增长规律
3.5 稳定变应力时的安全系数计算（Sσ，Sσa，Sτ，Sτa） Sσ，Sσa——机械零件疲劳强度最大正应力安全系数和正应 力幅安全系数
103(104)
N0
lgN
图3.2 疲劳曲线
疲劳极限——在循环特性r 下的变应力，经过N次循环后，材料 不发生破坏的应力的最大值。
表示方法为： 疲劳曲线——表示循环次数N～σrN或τrN之间的变化关系的曲线。
N0——循环基数
有限寿命区（N< N0）
低周循环疲劳区——0<N<103(104) 疲劳极限接近屈
S Sa
kN 1 k D a
（2）屈服强度安全系数
S
s
S第三强度理论
2 m
ax
4
2 m
ax
S
s
s第四强度理论
2 m
ax
3
2 m
ax
2.低塑性和脆性材料的安全系数
S S S S
S S
非对称循环可以折算成对称循环即在公式中单向应力安全系 数以非对称循环时计算仍用上述公式计算。
S a
a
a
(k
kN 1 )D a a m
kN 1 ae
S a
S a
a
a
k N 1 (k )Da m
kn 1 ae
S
a
ae (k ) a m ae (k )D a m
以上的抛物线图为实验所得的塑性材料疲劳极限应 力图，折线为塑性材料简化的疲劳极限应力图，由图可 知：零件的工作状态点应处于安全区（折线ABES以内）， 且距离ABES折线越远，工作应更安全。
3.3 影响机械零件疲劳强度的主要因素
3、3、1 应力集中的影响，影响系数为kσ kτ
k 1 q( 1) k 1 q( 1)
对于脆性材料的零件，应按第一强度理论确定强 度准则，即：
1 2
W
2 W
4
2 T
s
2 b
s
W
2 w
4
2 T
（1）
疲劳强度安全系数（有关公式化）
S
kN 1
(k ) a
2 ( 1 )2 1
(k
由图可知： C 和 C1——分别为疲劳安全和塑性安全区的工作点 Cˊ和C1ˊ——分别为与C和Cˊ相对应的应力（单向）增长极限 点
1. 几何法求安全系数 由图中可知工作点C： σ=σm + σa
极限点C’ σlim=σ’m+σ’a=σ’
S
m' a ' m a
OG GC OH HC
)
简化疲劳极限曲线 B( 0 , 0 )
22
C m , a
C m , a 许用疲劳极限曲线
B( , ) kN0 kN0 2 2(k )D
E
屈 服
极
限
曲
线
许用疲劳极限应力图
135º
S(бS ,0)
m
图中： A点,A'点——分别为对称循环变应力下疲劳极限点和许用疲劳 极限点 B点和B'点——分别为脉动循环变应力下疲劳极限点和许用疲 劳极限点 E点和E'点——分别为简化疲劳极限曲线与屈服极限曲线的交 点以及许用疲劳极限曲线与屈服极限曲线的交点 S点——屈服极限点
对塑性材料的零件应按第三或第四强度理论确定强度准 则。
第四强度理论适用于拉、切应力的复合应力，其强度准
则：
12
3
2 T
第三强度理论适用于弯、扭复合应力，其强度准则：
2 W
4
2 T
上述两种强度准则用安全系数表达式为：
s s s s
s2 s2
3.4.2 许用疲劳极限应力图
在简化疲劳极限应力线图的基础上考虑综合影响系数 （kσ）D （ kτ）D和寿命系数 kN 影响后而得到的。
说明：
综合影响系数（kσ）D （ kτ）D只对极限应力幅σa 有影响，而寿命系数KN同时对极限应力幅和平均应力有 影响。
a
A0, 1
A(0,
kN 1 ( K )D
2 b
( s s
)2
2 T
s
S
变应力强度
(k )D a
2
( 1 )2 1
(k )Da
2
kN 1
S
其中 1 的取值为第三、第四强度理论
wenku.baidu.com
1
分别为
1 2 1
1 3 1
复合应力状态下工作的零件其强度计算：
静应力下：
（1）单向应力安全系数
S
lim
S
S
lim
103（104）≤N≤N0范围的变化曲线方程为——疲
劳方程
mrN N mr N0 c
m rN
N
mr
N0
C
即
rN
m
N0 N
r
kN
r
rN kN r
说明： １、式中，ｍ—为随材料和应力状态而变化的幂指数，钢受弯曲、 拉伸、剪切应力时ｍ＝９，钢线接触时ｍ＝６，青铜弯曲应力时 ｍ＝９，接触应力时ｍ＝８。
2、零件的极限应力幅÷综合影响系数
3.4 许用疲劳极限应力图
3.4.1 稳定变应力和非稳定变应力 稳定变应力——每次循环中，σm，σa和周期T都不随时间t而变
化的变应力。 非稳定变变应力——每次循环中只要σm，σa和T其中之一随时
间t而变化的应力 它分为两种：
（1）周期性非稳定变应力——由于载荷或工作转速的变化作周 期性规律变化的变应力 （2）随机性非稳定变应力——由于载荷或工作转速的变化作非 周期性规律变化的应力
在变应力工作下的零件，疲劳断裂是最主要的失效形式之一。 零件的疲劳断裂占零件断裂的80%。
疲劳断裂截面→表面光滑的疲劳发展区+粗糙的脆性断裂区。 见书中图3.1和表3.1。
3.2 疲劳曲线和疲劳极限应力图
3.2.1 疲劳曲线 （σ—N或τ—N曲线）
有限寿命区
无限寿命区
LgσrN
低周循环
高周循环
A B
OC OC
Sa
a
a
GC HC
OC OC
由此可知: S Sa ，计算时选择任一种方法即可。
例如：
工作点Cˊ安全系数的计算如下：
S
Sa
S a m
OL LC1' OM MC1
OL LC1' OC1' OM MC1 OC1
注意其中σˊ=σs σs 为屈服强度极限，说明此时只需进行
其中： ae 和τae是由非对称循环应力折算成的当量对称循环变应 力。
对塑性材料，当工作点位于塑性安全区，则应验算屈服强
度安全系数
S
s a m
S
S
S a m
S
图解法和解析法的特点比较：前者计算简单，且能根据工 作点所处的位置直接判断区域性质；后者计算精确，但常不 能直接判断工作点所在的工作区域，因此为安全计疲劳强度 和屈服强度安全系数都应计算。
, ——考虑零件几何形状的理论应力集中系数
q——考虑材料应力集中感受程度的敏感系数
3、3、2 尺寸的影响，影响系数为εσ ，ετ
3、3、3 表面状态的影响，影响系数为βσ βτ 综合影响系数
计算时：
(k )D
k
,
(k
)D
k
1、零件的工作应力幅×综合影响系数（对平均应力影响很小）。
3.4.3 工作应力增长规律 三种规律： 1）r=常数,例如转轴（既承受弯距又承受转距）的弯曲变应 力——简单加载 2）σm =常数 （如振动中的受载弹簧中应力状态）——复杂 加载 3）σmin =常数（如紧螺栓联接中螺栓受轴向变载荷时的应力 状态）—复杂加载 三种规律是根据零件载荷变化规律以及零件与相邻零件的互 相约束情况的不同而分析的可能的三种规律。
)D a
2
kN 1
kN 1
k
D a
kN 1 2
2
2
1 1
k
2
Da
kN 1 2
其中
1
S S S
1 S 2
1 S 2
S 2 S 2
S Sa
kN 1 , k D a
静强度计算。
Sτ和Sτa 的求解方法和以上相同。
2.
解析法求安全系数 Sa 工作点C的安全系数求解：
a
a
公式中σa 由应力状态决定是已知量，而σaˊ必须求出。 通过求解AˊBˊ点AˊCˊ点两点直线方程而得到：
k N 1
k
D
kN 0
2k D
kN 0
k N 1
k
D
a
m
2
a
kN 1 (k )D
1 (k ) dD
m
2 1 0 0
( a
1
0
0
2
tg )
2
对于切应力，同理得：
a
kN 1
(k )D
1 (k )D
m
2 1 0 0
式中：ψσ ，ψτ——平均应力折合为应斩幅的等效系数，其 大小表示材料对循环不对称性的敏感程度。例如：碳钢
服极限,几乎与N无关。 高周循环疲劳区——103(104)≤N，疲劳极限随循环次
数的增加而降低。
无限寿命区（N≥N0）
疲劳极限与N无关，呈直线变化。所谓“无限”寿命 是指零件承受的变应力水平低于或等于材料的疲劳极 限σr，工作应力总循环次数可大于循环基数N0,并不是 说永远不会产生破坏。
不同应力变化时的循环疲劳极限表示为： 有限寿命区： σrN ，τrN 无限寿命区：σr,τr；σ0、τ0，σ-1、τ-1
ｋ为寿命系数，
m lg N0 lg N
lg rN lg r
LgσrN σrN
σr
1 m
lgN
N
N0
图3.3 疲劳曲线的指数m
2.循环基数Ｎ０ 据材料性质不同Ｎ０取值也不同。通常金属的 Ｎ０取为107，随着材料的硬度↑，Ｎ０↑。具体划分见书P38。 有色金属及高强度合金钢的疲劳曲线没有无限寿命区。
以上是应力增长规律r=常数时的安全系数计算， 其余两种规律下的σm、τm =常数和σmin、τmin=常数 时的疲劳安全系数计算和塑性材料屈服强度安全系数
计算见书P49表3.3。
3.5.2 复合应力状态时安全系数(双向稳定变应力时的
疲劳强度计算)
1.塑性材料(在对称循环弯扭复合应力作用下)
静应力强度
Sτ，Sτa——机械零件疲劳强度最大剪应力安全系数和剪应 力幅安全系数
3.5.1 单向应力状态时的安全系数（r=常数时的机械零件单向加
载）
1 a
r min m a max m a
1
m a
常数
m
由此式可知：欲使r=常数，则σa，σm应按同一比例增长。
a
疲劳失效区
A(0,σ-1)
B 0 , 0 2 2
E
安 全区
0
塑性失效 区
S(σs,0)
F(σB,0)
m
图3.8 塑性材料简化疲劳极限应力图
图中各状态点说明：
Ａ点——对称循环疲劳极限点（０，σ-1） B点——脉动循环疲劳极限点 F点——静强度极限点（σB，0） S点——屈服极限点（σS，0）
两种计算方法：
A 安全—寿命设计 在规定的工作时间内，不允许零件出现疲 劳裂纹，一旦出现即为失效。可按σ——N曲线进行有限寿命和疲 劳寿命疲劳计算，这也是本章介绍的计算方法。
B 破坏—安全设计 允许零件存在裂纹并缓慢扩展，但须保证 在规定的工作周期内，仍能安全可靠地工作。可按疲劳裂纹寿命计 算。
3.1 疲劳裂纹特征
ψσ=0.1∽0.2，合金钢ψσ=0.2∽0.3，所以材料强度↑，则 ψσ↑。
返回 将
m
m
a
a
和
m
m
a 的关系分别代入
a
上两式得应力 幅如下：
a
(k
kN 1 )D
m a
a
(k
kN 1 )D
m a
按应力幅求安全系数如下：
３. 不同循环特性ｒ时的疲劳曲线如图所示，ｒ↑→σrN↑、 （τrＮ↑）
LgσrN
r3=0.5 r2=0 r1=-1
0
104
107
lgN
图3.4 不同r时的疲劳曲线
３.２.２ 疲劳极限应力图
疲劳极限应力图表明材料在相同循环次数Ｎ和不同循环 特性ｒ下的不同疲劳极限。用以以应力大小来判断零件工作 的安全区域和失效区域。由实验得出。
A΄
a
C’
A’ a
C’ B’
c
α
m
m
o
s
σm
S
• r=常数
a
b) σm=常数
三种工作应力增长规律
a
A’
σ min
C’ C
S
m
c)σmin=常数a 三种工作应力增长规律
3.5 稳定变应力时的安全系数计算（Sσ，Sσa，Sτ，Sτa） Sσ，Sσa——机械零件疲劳强度最大正应力安全系数和正应 力幅安全系数