第五章《相交线与平行线》证明题专题复习课件教程文件

3.如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
4.已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE， CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
第五章相交线与平行线辅助线专题
题型一、“U”型中辅助线
已知：如图，AB∥ED，求证：∠BCD=360°-（∠B+∠D）。
D
E
B
∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行）
∴ ∠AGD=∠ACB
（两直线平行，同位角相等）
A
G FC
课堂练习
1.已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1=∠2， 猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由.
2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE， ∠DCE=∠FEB，求证：EF平分∠DEB．
∵ ∠1=∠2（已知） B
C
E
∴ ∠1=∠ACD(等量代换)
∴AB ∥ CD
(内错角相等，两直线平行)
例4.已知 EF⊥AB，CD⊥AB ，∠EFB=∠GDC，
求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知）
∴ AD∥BC
(垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠EFB＝ ∠DCB （两直线平行，同位角相等） ∵ ∠EFB=∠GDC （已知）
证明：过点C作CF∥AB，则∠B+∠1=180°（ ∵AB∥CD（已知），
又∵CF∥AB（已作），
∴EF∥CD（
）。
∴∠D+∠2=180°（
）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（
又∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BCD=360°（ ）。
∴∠BCD==360°-（∠B+∠D）（
）。 ）。
第五章 相交线与平行线证明 题专题复习
平 行
条件
线
的 两直线平行 性
质
平 条件
行 线
同位角相等
的 内错角相等
判
定 同旁内角互补
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
结论
两直线平行
例1. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC
D
F
C
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACBLeabharlann Baidu(已知)
∴∠D=∠B+∠BED 即: ∠BED=∠D-∠B
变式3 已知：如图，AB∥CD， 求证：∠BED=∠B-∠D
证明：如图，过E作EF∥AB，则 ∠FEB+∠B=180°， ∴∠FEB=180°-∠B． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED+∠D=180°， ∴∠FED=180°-∠D， ∴∠BED=∠FED-∠FEB=180°-∠D180°+∠B=∠B-∠D，即∠BED=∠B∠D．
∴ AD// BC
(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) ∴ AD// EF
B
E A
(同旁内角互补,两直线平行)
∴ EF// BC
(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
例2. 如图 已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD。
证明： ∵ ∠1+∠2=180°(已知)，
变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
如图，作FG∥AB,EH∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠4， 又∵ AB∥CD， ∴FG∥GE ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=∠3+∠4， 即∠BFE=∠FEC
点C添加一条平行线．
题型二、“Z”型中辅助线
如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线）
过点C作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥CF∥ED， ∴∠BCF=∠B，∠DCF=∠D， ∴∠BCD=∠B+∠D， =48°+42°， =90°， ∴BC⊥CD； 过点C作CG∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥CG∥ED， ∴∠BCG=180°-∠B=180°-48°=132°， ∠DCG=∠D=180°-∠D=180°-42°=138°， ∴∠BCD=360°-∠BCG-∠DCG， =360°-132°-138°， =90°， ∴BC⊥CD．
“平行线间的折线问题”题型小结
1.原题的难点在于平行线间没有截线或截线不明显 2.添加辅助线的目的是构造截线或构造新的平行线 3.处理平行线间折线的问题，过所有折点作平行线是一种通法 4. 加截线（连结两点、延长线段相交）构造三角形，应用 三角形内角和定理，也是一种“转化”的数学思想
作业：
1. 已知：如图23，AD平分∠BAC，点F在BD上， FE∥AD交AB于G，交CA的延长线于E，求证： ∠AGE＝∠E。
）。
变式1、已知：如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.
A
B
E
F
解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
C 第3题
D
∴ EM∥FN
∵AB∥CD ，
∴EM∥FN∥AB∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠3=180°，
∠4+∠C=180°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=∠A+∠1+∠2+
变式2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
证明: 过E点作EF//AB, ∵ AB//CD ∴ AB//CD//EF ∴∠D=∠DEF∠B=∠BEF ∵∠BED=∠DEF-∠BEF ∴∠BED=∠D-∠B 另证: 设AB与ED相交点为O ∵ AB//CD ∴∠D=∠DOB ∵∠DOB=∠B+∠BED
∠3+∠4+∠C=540°．
故答案为：540°．
变式2、如图所示，AB∥ED，∠CAB＝135°， ∠ACD＝80°，求∠CDE的度数．
如图，过点C作CF∥AB． ∵AB∥AB ∴∠A＋∠ACF＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∵∠A＝135°， ∴∠ACF＝45°． ∴∠FCD＝∠ACD－∠ACF＝80°－45°＝35° 又∵CF∥ED ∴∠FCD＝∠CDE(两直线平行，内错角相等) ∴∠CDE＝35°． 提示： 两平行线AB、ED没有一条直线去截它们，需要过
E
∠1=∠3
A1
∠2=∠4（对顶角相等) ∴ ∠3+∠4=180°（等量代换）.
C
∴ AB//CD （同旁内角互补，两直线平行）.
B 3
4 D
2 F
例3. 如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2， 试证明AB∥CD。
证明： ∵AC∥DE （已知）
∴ ∠ACD= ∠2
A 1
(两直线平行，内错角相等)
D 2