物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法

运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值

对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,

若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；

若a<0,则当x=-a

b

2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；

2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。 若y ≤A ，则y max ＝A 。

3、利用配方法求极值

对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。（2）当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为

≥+2

b

a a

b ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。 当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b 时， (a+b) max ＝2

)(2

b a +。

5、利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=

21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2

A 。 对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。

考虑asin θ+bcos θ＝ (

θθcos sin 2

2

2

2

b

a b b

a a ++

+)

＝22b a + (cos фsin θ+sin фcos θ)

＝22b a +sin(θ+ф) 其最大值为22b a +。 6、用图象法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。 7、用分析法求极值

分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。 例1：如图2所示的电路中。电源的电动势ε＝12伏，阻r ＝0.5欧，外电阻R 1＝2欧，R 2＝3欧，滑动变阻器R 3＝5欧。求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?

分析：设aP 间电阻

为x ，外电路总电阻为R. 则：

a b 图1

10

)8)(2(532)

53)(2()

)((3

21321X X X X R R R X R R X R R -+=

++-++=

++-++=

先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max 。本题的关键是求R max ，下面用四种方法求解R max 。

[方法一] 用顶点坐标法求解

抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c 。

考虑R ＝10

)8)(2(x x -+=1016

62++-x x ，

设y ＝-x 2+6x+16，

当x ＝a

b

2-＝ —)1(26-＝3时，R max (3)＝101636)3(2+⨯+- ＝2.5Ω。

[方法二] 用配方法求解

考虑R ＝10

)

8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =1025)3(2+--x 。

即x ＝3Ω时，R max ＝5.210

25

=Ω。

[方法三] 用判别式法求解

考虑R ＝10

16

62++-x x ，则有-x 2+6x+16-10R ＝0，

Δ＝b 2-4ac ＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即：100-40R ≥0， R ≤2.5Ω，即R max ＝2.5Ω。

[方法四] 用均值定理法求解 考虑R ＝

10

)

8)(2(x x -+，设a ＝2+x ；b ＝8-x 。

当a ＝b 时，即2+x ＝8-x ， 即x ＝3Ω时，R max (3)＝

10

)

38)(32(-+ ＝2.5Ω。

也可以用上面公式(a+b)max ＝2

)]8)(2[(2

x x -+＝25，

R max ＝

10)(max b a +＝10

25

＝2.5Ω。

以上用四种方法求出R max ＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。 I min ＝

r

R +m ax ε

＝

5

.05.212

+＝4(A)。U max ＝ε- I min r ＝12-4⨯0.5＝10(V)。即变阻器的滑动头P 滑到R 3

的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。

例2：如图3所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R ，在水平轨道上停着一个质量为M ＝0.99kg 的木块，一颗质量为m ＝0.01Kg 的子弹，以V 0=400m/s 的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R 多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少?

[解析]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V 1，则： mV 0＝(m+M)V 1， 所以：V 1=

0V M m m +＝s m s m /4/40099

.001.001

.0=⨯+

设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2，由于轨道光滑，故机械能守恒：

2221)(2

1

)(2)(21V M m gR M m V m M +++=+ 所以：V 2=)/(])(4)[(2

1M m gR m M V M m ++-+

=R R Rg V 40161044422

1-=⨯-=

-

则平抛后的位移可以表示为：

s =V 2t =V 210

4)4016(4R

R g R ⨯

-=⨯

图3