第21讲 三角形中的变换

第21讲 三角形中的变换

（一）知识归纳：

在三角形中有下述重要的公式与定理：

设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ， ①【内角和定理】A+B+C=π

②【正弦定理】

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） ③【余弦定理】bc

a c

b A A b

c c b a 2cos cos 22

222

2

2

++=-+=或

④【面积公式】s r R abc C ab S ⋅===

4sin 21（其中r 为内切圆半径，)(2

1

c b a s ++=）

（二）学习要点：

1．边角互换：三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”进行互换，即运用“正弦定理、余理定理或面积公式”将边换成角，或将角换成边.

2．结合图形：有些问题还应考虑结合图形并运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”建立关系式.

【例1】在△ABC 中，求证：.sin sin cos cos A

B

A c b

B c a =--

[证法一]（考虑“角换边”） 左边=

A

C A C B

C C B A C R B R B C R A R cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin 2sin 2cos sin 2sin 2-+-+=--

=

===-+-+A

B

A C C

B A

C A C A C B C C B C B sin sin sin cos cos sin cos sin )sin cos cos (sin cos sin )sin cos cos (sin 右边；

[证法二]（考虑“角换边”）

左边=

===-+-+=-+⋅

--+⋅

-A B a b b

c a b a c b a bc a c b c b ca b a c c a sin sin 22222222

22222222右边. [评析]证法一将等式转化为三角式，并进行三角式变换；而证法二是将等式转化为代数式，

并进行代数式变换；在解决问题题应估计这两种方法的难易程度，准确作出决策. 【例2】解答下列述问题：

（Ⅰ）△ABC 中，若)

sin(sin )

cos(tan B C A B C B -+-=

，试确定△ABC 的形状.

[解析]B

C B

C B C B B B C B C B C B B cos sin 2sin sin cos cos cos sin )sin()sin()cos(cos sin +=⇒-++-=

0)cos(sin sin cos cos sin sin 2=+⇒+=⇒C B B C B C C B

,2

,0π

π=

+∴<+

（Ⅱ）在△ABC 中，已知（a +b+c ）(a +b －c)=3a b ，4

3

sin sin =

B A ，试判断三角形的形状. [解析]由（a +b+c ）(a +b －c)=3a b ,3)(2

2

2

2

2

ab c b a ab c b a =-+⇒=-+⇒

∴2

1

2cos 222=-+=

ab c b a C ∵0°

3①, ∴cosAcosB=

4

1

②, ①+②得cos(A －B)=1，ππ<-<-B A , ∴A －B=0, ∴A=C=B=60°，故△ABC 为正三角形.

[评分]判断三角形的形状是三角形变换中的典型问题，解决这类问题的主要过程是对条件进行化简，但应注意，化简的每步过程必须等价变换，否则可能会使得三角形形状的情况增加或减少.

【例3】解答下列问题：

（Ⅰ）在△ABC 中，已知最大内角A 是最小内角C 的两倍，三边的长a ，b ，c 是三个连续的正整数，求各边的长.

[解析] ∵最小边为c ，∴b=c+1，a =c+2， ∵A=2C ，B=180°－（A+C ）=180°－3C ， ∴

c

c C C c C c 22

cos sin 2sin 2+=⇒=+①，

而)

2)(1(2)2()1(cos 222++-+++=c c c c c C ②,

由①、②得

,0)4)(1(0432

35

62222

=-+⇒=--⇒++++=+c c c c c c c c c c c=4，b=5，a =6.

（Ⅱ）在△ABC 中，已知b=1，c=2，角A 的平分线,3

3

2=a t 求a 及三内角的大小. [解析]如图，S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴

A bc A t b A t c a a sin 2

1

2sin 212sin 21=⋅⋅+⋅⋅， ∴

2cos 4332334A =+,602

3

2cos ︒=⇒=⇒A A ∴,3cos 222=-+=A bc c b a ∴222c b a =+， ∴C=90°，

综上，,3=

a A=60°，B=30°，C=90°.

[评析]在例3中，问题都与图形有关，应根据图形的特点正确选择公式、定理建立起边、角关系.

【例4】解答题述问题：

（Ⅰ）在△ABC 中，已知,sin 2

3

2cos sin 2cos sin 22

B A

C C A =+ （1）求证：a ，b ，c 成等差数列； （2）求角B 的取值范围. [解析]（1）B A C C A

sin 2

32cos 1sin 2cos 1sin =+++ ,2sin 2sin sin sin 3)sin(sin sin b c a B C A B C A C A =+⇒=+⇒=+++⇒

∴a 、b 、c 成等差数列；

（2）,2

182682)(32)

2(

cos 222

22=-≥-+=+-+=

ac ac ac ac ac c a ac c a c a B

∵B ∈（0，π），∴0＜B ≤60°，∴角B 的取值范围是.3,

0⎥⎦

⎤

⎝⎛π （Ⅱ）在Rt △ABC 中，已知cosA+8cosB+cosC= 4，

试求外接圆半径R 与内切圆半径r 之比R:r.

[解析]∵cosA+cosC=4不能成立，∴B ≠90°，由对称性，设A=90°，∴8cosB+cosC=4

⇒=+⋅

⇒48a

b

a c b= 4a －8c ，代入c 2+

b 2=a 2得65

c 2－64a c+15a 2=0 ,03505130)35)(1513(=-=-⇒=--⇒a c a c a c a c 或

∵b=4a －8a >0，∴a >2c ，∴5c －3a =0不合，∴

.13

12

,135==a b a c 设c=5k ，b=12k ，a =13k ，