第二章线性规划

A
533
1.5
B
221
0.7
每人每月最低需求量（单位） 60 40 35
例3 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一
根。已知原料长7.4米，问如何下料，使用的原料最少（余料最 少或根数最少）？
解：设 x1, x2 , x3, x4 , x5分别代表五种 不同的原料用量方案（余料最少）
例1 某制药厂生产甲、乙两种药品，它们均需在A、 B、C三种设备上加工。每种设备所用的时间，每 吨药品的加工时间以及所获利润如下表1-1所示。 问甲、乙两种药品各生产多少吨，可使该厂所获 利润最大？
A B C 利润
加工时间(小时/吨) (元/吨)
甲 3 5 9 700
乙 9 5 3 300
设备使用时间 540 450 720
1.用图解法求解极大化问题
例1 OBJ : max Z 2 x1 3 x 2
x1 2x2 8
s
.
t
.
4
x
1
16 4 x 2 12
x1 , x 2 0
x x12x2 2
2x1 3x2 4
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 3 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 这表明最优解是:x1= 4,x2 =2
6
C
5
4
2
3
2
1
f(x)=1f(x2)=0
1
D
H
O 1 2 3 4 5 6 7 8 x1
2.用图解法求解极小化问题
例3min Z = 1.5x1+0.7x2 5x1+2x2 ≥60 3x1+2x2 ≥40 3x1+ x2 ≥ 35 x1，x2 ≥ 0
最优解： x1= 10,x2 =5
最优值： Zmin=18.5
用图解法求解线性规划问题是利用数学模型中方程的 几何图形来直接找到最优解，图解法适用于包含两个 决策变量的线性规划问题。
2.图解法步骤 1) 将约束方程用图形绘出
x122x2 2x1 3x2
2) 作出LP问题的可行域
3) 作出目标函数的图形(称为等值线),找出其移动的方向
4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
方案 x1 x2 x3 x4 x5
2.9米 1 2 0 1 0
2.1米 0 0 2 2 1
1.5米 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
OBJ: MinZ 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100 s.t. 3x12x3x2 2x24x3 x53x5101000
例2 设每人每月至少需要60单位的糖，40单位的蛋白质合
5单位的脂肪。食品A每千克含糖、蛋白质和脂肪各为5、3 和3个单位，食品B分别为2、2和1个单位。每千克售价： A为1.5元，B为0.7元，在保证一个人最低营养要求的前提 下，每月两种食品各买多少，方能使费用最少？
糖 蛋白质 脂肪 售价 含量（单位/千克） （元/千克）
第二章 线性规划及单纯形法
第一节 基本概念
一、线性规划 • 线性规划是运筹学的一个重要分支，是现代科学管
理的重要手段之一，是帮助管理者作决策的一个有 效的方法。 • 线性规划，是一种最优化的数学模型（所谓最优化 方法，即：最小的投入最大的产出）。 • 线性规划就是一种“以线性数学表达式描述所研究 的问题，并从问题在一定条件下所有的可行解中求 出它的最优解”的技术。
二、线性规划模型的定义
对于一般线性规划模型，通常定义如下：
求一组变量x1，x2，……xn的值,使目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + …… + cnxn的值最大或最小，并满足的约束条 件：
a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn ≤(≥，=) b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn ≤(≥，=) b2
…… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥，=) bm x1，x2 …… xn≥ 0
式中：xj——决策变量；aij，cj，bi——常数； i = 1，2，3 …… m ；j = 1，2，3 …… n
三、线性规划数学模型的特点
1.线性 对所研究的问题用线性方程或线性不等式表示。即与 解决问题有关的一些限制条件（或约束条件），以及 决策人所追求的目标等，均用线性的数学表达式来描 述；
2.肯定性 对数学模型的各个参数取肯定的数值，即作肯定估计； 模型本身不考虑不肯定因素，包括概率分析；
3.目标单一性 虽然决策人追求的可能有几个目标，但线性规划模型 只有一个目标，即最大值或最小值，其本质上是求极 值的问题。
四、如何建立线性规划模型
由线性规划模型的定义可知，模型的建立是以下 述三个基本设想为前提的： ⑴比例性 每种活动的资源耗用量与活动的量成比例；每种 活动对目标函数的贡献与活动的量成比例； ⑵相加性 总的资源耗用量是各种活动的资源耗用之和；目 标函数之总值是各种活动的贡献量之和； ⑶非负性 各种活动的量只能取零或正值，不取负值。
• 每一个问题变量都用一组决策变量（x1, x2, …, xn）表 示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案， 这些变量是非负的。
• 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。
• 目标函数用决策变量的线性函数来表示。按问题 的不同，要求目标函数实现最大化和最小化。
五、两变量线性规划问题的图解法
x2 40
C
30
20
Zmin
10 B
0
5
A 10 15
20
x1
5x1+2x2 =60
x1, x2, x3, x4, x5 0
OBJ : MinZ x1 x2 x3 x4 x5
x1 2 x2 x4 100
s.t.
3
2x x1
3 x2
2
x4 2 x3
x
5
3ห้องสมุดไป่ตู้
100 x5 100
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
线性规划问题（LP问题）的共同特征：
0
4x1=16 x1+2x2=8
Q(4,2) 4x2=12
4 Z=2x1+3x2
8 x1
例2
max Z 6 x 1 4 x 2
2 x 1 x 2 10
s
.t
.
x1 x2 8 x2 7
x 1 , x 2 0
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
x2
10 F
9
8E
7 ABG 3