8.几种常见的数学思想在小学数学中的应用

数学

几种常见的数学思想在小学数学中的应用

怀化市湖天桥小学黄才克通过在教学中发现，其实很多初中高中的一些比较常见的数学思想其实在小学数学中早已经有所体现，并且运用到解题中，这对于从小培养学生的思维能力，数学素养都有重要的作用。

小学数学中常见的数学思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、整体代入的思想、特殊值的思想、极限思想、符号化思想等。学生要形成这些基本思想，我觉得一要靠自身的感悟、体验，本身要有一定的数学素养，二要靠教师平时教学过程中慢慢的渗透、指导。

以上一些数学思想方法其实在小学数学中都有体现，下面我就结合教学中发现的一些典型的例子做一一介绍和分析。

1.转化思想

转化思想随着继续深造学习，就有另外一个名字，就是化归思想，所谓“化归”，就是转化和归结的意思．但小学阶段主要是体现转化的思想。其实这种数学思想可以说一直贯穿整个数学学习过程中，无所不在。转化是将有待解决或未解决的问题，转化为一类已经解决或较易解决的问题，在来解决。其实质就是通过对问题的转化来解决问题的一种方法。

任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，一切新问题总是转化为旧问题来解决。转化思想是数学中最普遍使用的一种基本而典型的数学思想，教学时经常用到它，如化未知为已知、

化难为易、化繁为简、化曲为直等。例如小数六年级在教学分数除法时候，就是将除法转发为已经学过的乘法。在求圆柱体积时候就是通过转化的思想把圆柱转化为已经学过的长方体的来计算，在求圆的面积时候，把圆转化为已经学过的长方形面积，以及三角形转化为平行四边形，梯形面积转化为平行四边形面积，在求圆柱的侧面积的时候，侧面是一个曲面，通过转化思想把曲面转化成平面图形，在推导圆的周长的将曲线变成直线。都体现的是一种转化的思想。以及五年级异分母分数的加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小。像这种转化思想在小学数学中经常体现。这里就不一一举例，相信教过五六年级数学的老师都会深有体会。利用转化思想解题，可以使困难的问题变得容易，复杂的问题变得简单。

2.数形结合思想

数与形是数学研究对象的两个重要方面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。

数形结合思想是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。数形结合思想在最新人教版（教育部2013年审定）六年级上册数学广场-数与形中体现的最明显，上面有很多关于数形结合思想应用的题型。数与形，本是原本也是相依相伴的，数缺形时少直觉，形少数时难以体现数学本质．“以形助数”可使抽象概念和关系直观而形象，“以数解形”用数去研究形可获得一般化的解法。”

数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

3.分类思想

分类，就是依据一定的标准，将对象区分为不同种类的方法。小学数学中的分类思想用得非常普遍。如在五年级的自然数的按因数的个数来分类，则可分为质数、合数和1；几何图形中三角形的分类，以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。

在习题里面也有很多渗透了分类讨论的思想，例如在六年级上册一套试题中，有这样一个题：“两根绳子同样长，第一根剪去

103米，第二根剪去10

3，剩下的两个绳子长度比较？”其实这就是一个很典型的分类讨论的题型，只不过比前面所说分类难度有所增加，学生不易发现。剩下的长度其实是和这两个根绳子的到底有多长有关系，而造成这样的结果主要是第二根绳子剪去的具体长度是未知的，这就涉及到了对于分数意义的理解，不再多解释，要求剩下的长度事实上只要比较剪去的长度就可以了，第二根剪去到底有多长，当这两根绳子长度正好等于1米时，第二根就正好剪去1米

103=103米，当这根绳子大于1米，第二根剪去的长度大于10

3米，当这根绳子长度小于1米时

大于103米，第二根剪去的长度小于10

3米，这三种情况。数学中的分类思想有助于学生对知识的梳理和对学生思维能力的培养。

4.整体代入思想

在讲解单元测试卷的时候，感觉非常惊奇，竟然发现整体代入求值方法在小学数学中也有渗透，而且很多地方都有涉及。下面来看几个整体代入在小学数学中的例子，这是我在讲解单元测试卷的时候发现的。

例如：大小两个圆的半径之差是3厘米，他们的直径之差是多少厘米？周长之差是多少厘米？其实这就是一个比较简单的整体代入在小学数学中的应用，很多小学生潜意识里，就是要知道大小两个圆的半径就好了，但在这里两个圆的半径是无法求出的，而对于解这个题来说，也不需要知道两个大小圆的半径。这里就要用到整体代入的思想，如果把题目变成符号语言就是：“已知：12r r -=3cm ，求

12d d -=( )cm,=-12c c ( )cm 。

可以根据直径周长之间的关系，在利用乘法分配律就可以把已知条件整体代入从而求出直径之差和周长之差。即12d d -=1222r r -=2()12r r -=6（cm ），

=-12c c 2π2r -2π1r =2π()12r r -=6π（cm ）

。很多学生在解题的时候无法找到这个方法。

例如：正方形的面积是322cm ，求阴影部分的面积是多少平方厘米？这个题目其实也体现了整体代入的思想，大部分学生思

路很清晰阴影部分面积=正方形的面积-圆的面面积的41

。转化为符号

表示就是：yuan zheng ying S S S 4

1-=，所以很多学生想把圆的半径求出，即

正方形的边长，但事实上，在小学阶段，已知正方形的面积，求边长，就涉及一个求算术平方根的问题。小学生是无法计算的。但是我们这里完全可以不用求出边长，只要用到整体代入的思想就可以解决。因为圆的面积公式里有半径×半径。而半径就是边长，所以半径的平方就等于正方形面积的数值。即24132r S π-==32-

41×3.14×32=6.88（2cm ）。

对于上面第一个例题有不少学生采取了一种比较聪明的处理方法，就是取特殊值法，我想这对于填空题来说不能不说是一种可行的方法。但不利于培养学生整体代求值的思维。对今后的学习有一定的负面影响。我认为教师在教学过程还是要渗透整体代入的思想。

对于这种整体代入思想，在练习中还会经常遇到，比如在教学圆的面积以及圆环的面积的时候会遇到，相信只要我们老师平时多观察多用心，就一定会发现。 5.极限思想

严格的来讲，极限是要到高三才学习的一个内容，但这种极限的思想在我们小学数学教材中其实早已经有所体现，其实也就是我们以后继续要深造的微分和积分。但对于小学来说确实还无法理解其中的意义。例如：在教学圆的面积以及圆柱的体积的时候，其实就用到了极限的思想。把圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形。当分成的份数越多越多的时候，就会越接近一个长方形，当时在这个地方我还和部分老师进行过争论，我说当分成的份数无穷大时，就可以拼成一