复数的加减乘除

或 点 （a,b）一一对应
问题4:类比实数的运算法则
能否得到复数的运算法则？
a
5
二、问题引入：
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：
abba
ab ba
(a b) c a (b c)
(ab)c a(bc)
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
OZ2=(c,d)
y Z1
复数减法的几何意义：
u u u r u u u u r u u u u r O Z 1-O Z 2=Z 2 Z 1
O
Z2 x
a
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2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
(3)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
a
7
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
a
8
学 以致 用
讲解例题 例1 计算
(5 -6 i)+ (-2 -i)-(3 + 4 i)
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
a
6
三、知识新授：
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
(2) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
复数的四则运算⑴
a
1
一、复习回顾：
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a b(a i R ,b R )
复数的实部 a，虚部 b .
实数：b0aR;
虚数： b0aR;
复特纯数别虚相地数等，：a+abab i=b000 ia cd a= bi=0 ba
c d
.
2
问题1：
分析：依题意设Z1=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， 由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，由复数相 等可求得x= －1，y= －1/2
a
13
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
(1 2i)(3 4i)(2 i) (112i)(2i) 2015i
(1)计算(a+bi)(a-bi)
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
a
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(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有：
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
a
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例2：计算（ 1） (ab)ia (b)i
Z1(a,b)
O
x
∴向量
u u ur OZ
就是与复数
(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
是复数加法的几何意义a
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类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
u u ur uuuur
设O
Z1
及O
Z
2
分别与复数 a + bi uuur
及复数 c + di对应，则uu O uu Z r1,=(a,b)
2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i 则x=_－__23____ y=__4_i____
分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2
∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
a
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三、课堂练习 1、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=__－_2_+_2_i_____
（2） ( 3 －2i) －(2+i) －(___－_9_i___)=1+6i
u u ur uuuur
设O
Z1
及OZ2
分别与复数 a + bi uuur
及复数 c + di对应，则uu O uu Z r1,=(a,b)
Z2(c,d)
Z
OZ2=(c,d)
uuur uuur uuuur
OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c,d ) = (a + c,b + d )
a 2 a bai b b 2 ii2 复数的乘法与多项
a2 b2
式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用
乘法公式可迅速展开, 运算,
类似地,复数的乘法也可大胆
运用乘法公式来展开运算.
（ 2 ） (a b)2ia 22 a bb 2 i2
a2b22abi
a
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（ 3 ） (1 2 i)3 ( 4 i) ( 2 i)
a
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三、课堂练习
3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4 －2i，试求Z1+Z2对应 的点关于虚轴对称点的复数。
分析：先求出Z1+Z2=2 －i，所以Z1+Z2在复平面内对应 的点是(2， －1)，其关于虚轴的对称点为( －2， －1)， 故所求复数是－2 －i
a
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三、课堂练习
4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1， Z2，且满足Z1+i=Z2 －2，求Z1和Z2。
解：
(5- 6i)+(- 2- i)- (3+4i) =(5- 2- 3)+(- 6- 1- 4)i =- 11i
a
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例３：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的 必要不充分 条件
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问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相 等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:
当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小. 虚数不可以比较大小！
a
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问题3. 复数的几何意义是什么？
u u ur 复数 z=a+bi与 平面向量 O Z ＝（a,b）