第八章力矩分配法

第八章力矩分配法
1
§8-1 概述 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。
为了寻求较简捷的计算方法，自上世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度
A
i=2
B
i=3 C
6m
3m
3m
40kN/m D
i=4
6m
杆端
m
MF
B1次 C1次
AB C 1 2 BA BC C 1 2 CB CD C 0 DC
0.4 0.6
0.5 0.5
100
0
0 -300
300 -180
0
40
80 120
60
-45
-90 -90
集中力偶m
逆时针为正
讨论
A A
2、静定段处理
D
Δ1 =1 B
4m
i= 3
i= 6
基本系
C
D
r111FR1F 0
3)作M1、MF图
基本系为无侧移刚架
30kN /m
A
r 11
i= 4
M1、MF图运用 力矩分配法绘制
F R 1 F 4)求系数和自由项
i= 3
i= 6
△1作用
C
D
i= 3
i= 6
荷载作用
C
D
5)求未知量 6)叠加法作M图
MM11+MF
l
EI＝ C
位移法求解
（1）建立基本体系
如何分配？
B
l
l
FRK
mK
C
A
K φK
（2）位移法典型方程
rKK KFRKF0
（3）作MK及MF图
A
2iKA
4 i K A rK K
K
C
3iKB
iKC
(4)求刚度系数和自由项 B
B 基本系 rK K4iK A3iK BiK C
MK
rK K
4iKA
K
iKC
SKASKBSKC
4iKA S
mK
KI
MKB=
3iKB S
mK MKC=
KI
iKC S
mK A
KI
mK
K
C
MAK =
2iKA S
mK
M BK =0
KI
MCK =
iKC S
mK
KI
B MF
2、分配弯矩、分配系数与传递弯矩、传递系数
mK
mK
C A
K
φK
EI＝ C B
A
2iKA
l
l
4 i K A rK K
K
C
3iKB
一、力矩分配法的基本概念 1、杆端的抗弯劲度(转动刚度）S
转动刚度S表示杆端对转动的抵抗能力。
A端：近端（位移端） B端：远端
转动刚度S在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
φA =1 A
l
A
4i
M
φA =1
B
A
l
2i
B
A
3i
M
φA =1
B
A
l
B
A
i M
φA =1 A
φA =1
B
A
B
φA =1
iKC S
mK
KI
4 i K A rK K
由于K结点转动在远端产生的弯矩，称为传递弯矩，记为：
A
2iKA
3iKB
K
C
iKC
M
C IK
传递系数：传递弯矩与分配弯矩之比，记为：
C KI
B MK
一般式： MICK=CKIMKDI
C KI
只与远端约束有关
A
FRKF
mK
C
K
MACK =
2iKA S
mK =
1 2
20kN /m
D 2I B 2I C 2I
I I
E F
6m
8m
4m
-0.3 -0.1 -0.1 54.5 -24.4 -30.1
FC
-11.2 -1.0
0.1
1 1 8 .4
30.1 1 0 9
5 4 .5
3 0 .5
90
160
-0.1
2 4 .4
9 .5
-12.3
4 .8
1 2 .3 M k N ·m
SKI
mK
FRKF A
FRKF
mK
C
K
3iKB
SK SKI
称为K结点的转动刚度
K
FRKF mK
B MF
2、分配弯矩、分配系数与传递弯矩、传递系数
mK
mK
C A
K
φK
EI＝ C
l
图 示 结 构 M K A 、 M K B 、 M K C ＝ ？ M KA K
M KC
K结点 M K A ＋ M K B ＋ M K C=-m K
m
M
F KB
结点不平衡力矩
FRKFMK FAMK FB MKFI
K
若结点上还有集中力偶作用
F R K F M K F Im 结 点 力 偶 m 逆 时 针 为 正
分配弯矩、传递弯矩
前面已介绍
MK DI= KImK MICK=CKIMKDI
杆端弯矩
KA杆：MAK=MAFKMA CK MKA=MK FAMK DA
A
B
B i
B
？
l
远端固定时：
远端铰支时：
S AB 4i
S AB 3i
l
远端滑动支撑时： 远端自由时：
l
S AB i S AB 0
2、分配弯矩、分配系数与传递弯矩、传递系数
mK
mK
C A
K
φK
图 示 结 构 M K A 、 M K B 、 M K C ＝ ？ M KA K
M KC
K结点 M K A ＋ M K B ＋ M K C=-m K M KB
KI 1
3、固端弯矩（查表）
C 0
KB
BK 4、分配、传递
分配系数
0.571 0.429
5、作弯矩图
固端弯矩 M F －0.125
分配、传递
MD MC
－0.036
杆端弯矩 M －0.161
0.125
0
－0.071 －0.054
0.054 －0.054
结点上无集中力偶作用，两者数值大小相等， 但符号相反，即互为相反数。
0.4 0.6
-300
300 -120
-60
-24
-48 -72
0.5 0.5
120 120
240
-120 -120
-36
§8-4 无侧移刚架计算（力矩分配法）
例题2 已知各杆E=C，试用力矩分配法计算图示刚架，并作M图。
20kN/m A
2I B 2I
D C 2I
I I
I
E
F
6m
8m 4m 4m
20kN/m
400kN
40kN/m
i=2
B
6m
400kN
i=3 C
3m
3m
40kN/m
i=2 6m
B
i=3 C
3m
3m
80kN
D
6m
3m
80kN
240kN.m
D
6m
3m
方法1、力系等效 将结点D作为铰支座处理
方法2、D点加刚臂 课后思考
杆端
MF
C1次 B1次
AB C 1 2 BA BC C 1 2 CB CD C 0 DC
§8-5 有侧移刚架计算方法简介 1、附加链杆法
适用于独立结点线位移少，角位移相对较多的刚 架
实质： 位移法与力矩分配法联合运用
3 0 k N /m
A
B
i= 4
30kN /m A
i= 4
计算步骤：
1)建立位移法基本系 Δ1
只取结点线位移未知量 B
F R 1 2)列典型方程
i= 3
i= 6
C 4m
A i= 4
F
0 .5 3
6m
8m
4m
CF 0 .2 1 CD 0 .2 6
令 EI 1 8
计算各杆线刚度
注意：CD杆杆长！
杆端
0
AB
12 12
BA BE BC
MF 0
C1次 0 B1次 C2次
0.4 0.2 0.4 90 0 -106.7
-28.3 18.0 9 18
-2.4
B2次 C分不传
M
1.0 109.0
0.5 1.0 9.5 -118.4
EB
4.5 0.3
4.8
12
1
CB CF CD
DC
0.53 0.21 0.26
106.7 -56.6
0 -22.4
0 -27.7
0A 27.7
9
-4.8 -1.9 -2.3
2.3
0.5
BA 0 .4 CB 0 .5 3 BE 0 .2 CF 0 .2 1 BC 0 .4 CD 0 .2 6
2、无剪力分配法
图示结构特点：
F1
竖柱的剪力是静定的，
可由静力平衡条件求
出此类杆件称为剪力
静定杆件（剪力静定
柱）
F2
F C
B
A
F D
C
F1
B F2
F C
F D
FQ1 F1
FQ1
E
FQ2
FQ2 F1 F2
A
F
F
C
F1
FQ1
D F1
竖柱剪力求出后，视为外荷载，则竖柱变为一端固定，一 端滑移的剪力静定柱。
CB
0.4 0.6
0.5
MF
0
0 -300
300
M D B1次 60
120 180
90
分 C1次 传 B2次 10.5
M C C2次
B分不传C 0.8
M
71.3
M （kN·m） 142.6
-52.5 21.0 31.5
-4.0 1.6 2.4
142.6 -142.6
292.9
-105 15.8 -7.9 292.9
CD
C 0
DC
0.5
-180
0
0
-105
-7.9 -292.9
BA
42 42 43
0 . 4B
BC 0 .6
CB
43 43 34
0 .5C
CD 0 .5
2、传递系数
3、固端弯矩（查表）
A 71.3
D
B
C
600
180
4、分配、传递 5、作弯矩图
讨论
1、结点外力偶处理
400kN 100kN.m
2、分配弯矩、分配系数与传递弯矩、传递系数
FRKF mK
A
mK
C
K
φK
EI＝ C
l
rK K4iK A3iK BiK C SKASKBSKC SKI
MKA=
4iKA S
mK
MKB=
3iKB S
mK MKC=
KI
KI
iKC S
mK
KI
B
l
l
MAK =
2iKA S
mK
M BK =0
KI
MCK =
分配弯矩：结点不平衡力矩乘以分配系数，再改变符号。
0 0.161
A
0
0.054
B
K 0.054
0.250
0
0.161
M (×F)
A
0.054
B
K
0.250
M (×F)
§8-3 力矩分配法计算连续梁 单个结点转动一次放松即可消除刚臂的作用，多结点转动情况，则需要逐个结点轮流放松，逐步消除刚臂作用。
也可采用相间结点放松的方法。
随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接 求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。
§8-2 力矩分配法基本原理
能否一次放松？
课后检索相关文献
400kN
40kN/m
A
i=2
B
i=3 C
i=4
DA
6m
3m
mB= -FRBF
3m
6m
F'RCF
A
B
C
DA
400kN
40kN /m
A
i= 2
B
i= 3 C
i= 4
D i= 5
6m
3m
3m
6m
6m
400kN FRBF
FRC F40kN /m
FRD F
A
i= 2
B
i= 3 C
位移法求解
FRKF mK
M KB 如何分配？
B
l
l
FRK
mK
C
A
rK K4iK A3iK BiK C
SKASKBSKC SKI A
（5）回代求未知量
2iKA
4 i K A rK K
K
C
3iKB
iKC
K φK
B 基本系
K
FRKF rKK
mK S
KI
B MK
（6）叠加法求内力
MMKKMF
FRKF
构 M K A 、 M K B 、 M K C ＝ ？ M KA K
M KC
K结点
M K A ＋ M K B ＋ M K C ＝ m K
M KB
rK K4iK A3iK BiK C
如何分配？
SKASKBSKC SKI FRKF mK
MKA=
4iKA S
mK
MKB=
KI
3iKB S
KB杆：MBK=MBFK MBCK MKB=MKFBMKDB
二、力矩分配法基本原理
F
A
B
K
l 2
EI=C
l
l
C 1 2
杆端
AK
KA
数据准备
1、分配系数
2、传递系数
KA
S KA S KA S KB
4i 0.571 4i 3i
KB
S KB S KA S KB
校核
3 i 0 .4 2 9 4i 3i
mK MKC=
KI
iKC S
mK
KI
MAK =
2iKA S
mK
M BK =0
KI
MCK =
iKC S
mK
KI
B MK
FRKF
mK
C
A
K
MKA=
4iKA S
mK
SKA S
mK
=KAmK = M
D KA
KI
KI
K I 分配系数