计算机辅助设计5(数学方法)

计算机辅助设计
第五章 常用数学方法的计算机处理
一,求方程的根
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在运用计算机程序进行设计的过程中,经常会遇到 对方程根的求解. 对一元方程,如果是一次或二次方程,可以根据公 式直接求出该方程的精确解.而对于三次以上的方程 或三角函数,对数,指数方程,则往往难以用直接解 法求出方程的根.对于这些方程,我们在使用计算机 求解时常用迭代法(借助一组公式重复计算)求出满 足精度要求的近似解.
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由此得到与原方程组等价的上三角方程组: x1+ x2+ x3+ x4=10 x2- x3+0*x4= -1 x3+0*x4=3 x4=5 然后由下往上逐步回代,就可以得出: x1 x2 x3 x4 0 2 3 4
X=
=
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Y
Xi
Xi Xi
a
X
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开始
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步骤: 步骤: ①,输入求根区间端点a及精度要求ε. ②,令xa=a. ③,计算fa=f(xa)及导数值fa'. ④,计算xi,
a,e
xa = a f i= f(x a ) f i ' = f'(x a )
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实际消元过程中,化简为上三角矩阵后,斜对角元素的系数均为1, 即aii=1(i=1 to n) 则上式转化为: xn= an, n+1 xn-1= an-1, n+1 - a n –1, n x n ……………………….. Xi = ai, n+1 -
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Y
Y
西 b 南 a X a X b 交 通 大 Y Y 学 峨 眉 a 校 X b X a b 区 机 械 从上图我们可以看出: 工 (1),当区间两端函数值之积小于零时(异号),方程至少存在一个根,方 程 程也可能有奇数个根. 系 (2),当区间两端函数值之积大于零时(同号),方程在区间内可能有偶数 个根,也可能无根
xi = x a
fa f
'
a ⑤,求fi,fi=f(xi). ⑥,判断fi是否满足精度要求,若不 满足,则用新的区间重复④到⑥的 过程.
x i =x a - f a f a'
f(x i ) No x a= x i e Yes
Y
结束
Xi
Xi Xi
a
X
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(3),第二次消元: 使a22=1, 然后下面每一行减去第二行的ai2 倍,使ai2=0( i=3,4,….). 得: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 -2 10 -1 3 -16
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(4),第三次消元: 使a33=1, 然后下面每一行减去第三行的ai3倍, 使ai3=0( i=4,….).
Y
a,b,e
xa=a fa=f(xa) xb=a fb=f(xb) xi= xa- xb-xa *fa fb-fa fi=f(xi) fi e Yes No xb=xi fb=fi
No Yes fi*fa 0
Xa Xi Xi Xi
a
xa=xi fa=fi
b
Xb
X
结束
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由上述分析可知,若我们在一个比较大的区间范 围内求方程的根时,可能有多个根的存在.解决办法 是把此较大的区间分作若干个较小的子区间来讨论. 如果子区间两端函数值符号相反则必定有根,如果子 区间两端函数值符号相同则无根.而且只要子区间取 得足够小,则可求得区间内的所有根.
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二,线性方程组的求解
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线性方程组的求解也是工程实践中经常遇到的问题. 对线性方 程组的求解一般有两种方法,即消元法和迭代法. 在此,介绍一种称为高斯消元法的求解方程组的方法. 高斯消元法: 高斯消元法 首先用一个四元方程组作为例子,来说明高斯消元法的实质. 例: 有一个四元方程组如下: x1+ x2+ x3+ x4=10 2x1+ x2+ 3x3+2x4=21 x1+ 3x2+ 2x3+ x4=17 3x1+ 3x2+ x3+ x4=14 考虑数学求解的方法 和过程.
注:上述三种求根的方法,一般来说以牛顿法求解速度(收敛) 最快,弦截法其次,对半法最慢.但这不是绝对的,实际上求跟 根的速度还与方程的形式及区间情况有关. 例题: 求方程在[0.3,2.5]区间内的根. (尝试分别用以上三种方法分别编写程序完成.)
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Y
Xb X2
Xb
b
X
a
Xa
X1 X 3 Xa
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开始
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步骤: 步骤 ①,输入求根区间a和b及精度要求ε. ②,令xa=a,xb=b. ③,计算xi,xi=(xa+xb)/2. ④,计算f(xi). ⑤,判断f(xi)是否满足精度要求, 若不满足,则用新的区间重复③到 ⑤的过程.
Y
Xa
a
Xi
Xi Xi
b
Xb
X
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开始
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步骤: 步骤: ①,输入求根区间a和b及精度要求ε. ②,令xa=a,xb=b. ③,计算fa=f(xa),fb=f(xb). ④,计算xi, . ⑤,求fi,fi=f(xi). ⑥,判断fi是否满足精度要求,若不 满足,则用新的区间重复④到⑥的 过程.
回代过程的计算机解法: 如,有以下上三角方程组: a11x1+ a12x2+ a13x3+ … + a1nxn= b1 = an,n+1 a22x2+ a23x3+ … + a2nxn= b2 = a2,n+1 a33x3+ … + a3nxn= b3 = a3,n+1 ……………………… annxn= bn = an,n+1 由下往上回代就可以求出其解例为: xn= bn / ann xn-1= ( bn–1 - an –1, nx n) / an –1, n-1 ……………………….. x1= ( b1- a1, 2 x 2 - a1, 3 x3 - a1, 4 x4 - … - a1, n xn ) / a1, 1
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2, 弦截法. , 弦截法. 思路: 思路:对某个单调函数f(x),若其区间[a, b]满足f(a)*f(b)<0, 则在区间内一定与X轴相交,交点为xi,如果f(xi)≤ε,则xi即为 其近似根.否则以xi为新区间的一个端点,构成一个新的区间, 重复上述过程.
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得:
1 0 0 0
1 1 0 0
1 -1 1 0
1 0 0 -2
10 -1 3 -10
(5),第四次消元: 使a44=1. 得: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 10 -1 3 5
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Y
a,b,e
xa=a xb=b fa=f(xa) xi= xa+xb 2 fi=f(x i) fi Y xa=xi N fi*fa 0 e Y N x b=xi
Xb X2
Xb
b
X
结束
a
Xa
X1 X 3 Xa
注:将此算法和下面的算法分别编成子程序/被调函数,以供以后编写程序时调用.
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x1+ x2+ x3+ x4=10 2x1+ x2+ 3x3+2x4=21 x1+ 3x2+ 2x3+ x4=17 3x1+ 3x2+ x3+ x4=14 求解步骤如下: (1),把系数矩阵[aij]和等式右边向量[bi]组成增广矩阵的形式: 1 1 1 1 10 2 1 3 2 21 1 3 2 1 17 3 3 1 1 14
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概 述
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计算机具有能按给定的计算步骤高速进行数学运算,并给 出准确结果的能力,因此它已成为设计人员强有力的工具.有 效地利用计算机,可以使我们从重复,繁琐的计算工作中解脱 出来,腾出时间做更富有创作性的工作.虽然计算机具有很强 的计算能力,但在具体应用时仍然必须选用合适的计算方法, 否则就可能得不到预期的结果(《计算方法》).例如:大部 分计算过程只需将公式输入计算机即可完成,而某些计算过程 则难以交给计算机完成,(如方程/方程组的求解,积分/微分 计算等). 本章将介绍一些机械设计中常用的一些数学方法的计算机 处理方法,程序流程图,以便大家掌握这些计算方法的原理, 正确应用这些方法来解决工作中的计算问题.
Y
y=f(x)
X 1 X2 X3
X
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1,对半法
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思路: 对某个单调函数f(x),若其区间[a, b]满足f(a)*f(b)<0, 取其中点xi,如果f(xi)≤ε,则xi即为其近似根.否则以xi为新 区间的一个端点,构成一个新的区间,重复上述过程.
4,区间内有几个根时的求解. ,区间内有几个根时的求解. 前面几种方法在讨论求解方程的根的时候都加 上 了 限 制 条 件 ( 单 调 函 数 f(x) , 在 区 间 [a, b] 满 足 f(a)*f(b)<0等),而在实际应用时函数f(x)可能不满足 上述条件. 下面我们来分析某连续函数f(x)的曲线:
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迭代法求解的基本思想 迭代法求解的基本思想: 基本思想 如下图,求解方程的根实际上就是找到曲线f(x)与X轴的 交点.对于曲线f(x),我们先设定一个xi,则对应有yi = f(xi), 按照某种方法不断产生xi,使yi→0.直到对于某个x有 f(x)≤ε,则可认为这个x为方程的根.
3,牛顿法. 牛顿法. 牛顿法
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思路: 思路: 对某个单调函数f(x),若其区间[a, b]满足f(a)*f(b)<0, 过方程区间的某个端点作切线,用此切线方程的根作为原有方 程的近似根,若不满足精度要求,则过此点(根)再作切线求 根,不断重复直到满足条件.
连续函数在区间内有多个根 时的求根方法的流程图, 如右: 时的求根方法的流程图 , 如右 :
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练习题: 练习题:
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编写程序, 编写程序,求方程
2 x 3 11x 2 + 2 x + 15 = 0
在[-30,60]区间内的所有根. 30,60]区间内的所有根. 个解) (共3个解) 个解
Y
a
b
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所以:求某方程f(x)=0在区 所以 间内全部根时,过程如下: (1),将区间[a,b]分为适 当大小的区间,共n等分, 区间宽度为h,h=(b-a)/n. (2),从区间下界a点 出发,求第一个子区间两端 的函数值,如果异号则求根 (使用对半法,弦截法或牛 顿法),否则换到下一个子 区间. 一直到全部子区间 求解完.
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(2),第一次消元: 使a11=1, 然后下面每一行减去第一行的ai1倍, 使ai1=0( i=2,3,….).
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得:
1 0 0 0
1 -1 2 0
1 1 1 -2
1 0 0 -2
10 1 7 -16