切比雪夫最佳函数逼近理论应用(1)
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
切比雪夫最佳逼近定理
切比雪夫最佳逼近定理
切比雪夫最佳逼近定理是一个重要的数学定理，它主要涉及到函数的逼近问题。
对于一个给定的函数f(x)，我们可能会需要找到一个多项式g(x)来逼近它，使得它们之间的误差最小。
切比雪夫最佳逼近定理是在这样的条件下，给出了一种最好的逼近方法。
给定一个函数f(x)，并且假设它在区间[a,b]上是连续的。
再给定一个正整数n，那么必定存在一个多项式Pn(x)，该多项式的次数不超过n，满足下列两个条件：
（1）Pn(x)在[a,b]上是连续的；
（2）对于所有的次数不超过n的多项式q(x)，在[a,b]上也是连续的，有如下不等式成立：
∥f(x)-Pn(x)∥∞≤∥f(x)-q(x)∥∞
其中∥f(x)∥∞表示函数f(x)在区间[a,b]上的无穷范数，即函数在该区间上的最大值和最小值之差。
换言之，切比雪夫最佳逼近定理告诉我们，对于一个给定的函数f(x)，当我们尝试去用一个次数不超过n的多项式Pn(x)去逼近它时，如果我们要使得近似误差最小，那么我们应该采用以下方法：在[a,b]上，Pn(x)应该是一个使得函数f(x)-Pn(x)的无穷范数最小的多项式，而这个无穷范数就是函数f(x)与它在[a,b]上所有次数不超过n的多项式之间的最大差值。
这个定理的证明需要一些复杂的数学知识，但是其基本思想还是比较容易理解的。
它告诉我们，在一些特定的条件下，我们可以用一个多项式来逼近一个给定的函数，并且用这个多项式所产生的误差是最小的。
这个方法在数学和工程上都有广泛的应用，比如在信号处理、插值等领域。
计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式ppt课件
0,1,2,… , n)
轮流取得最大值1和最小值 1，{xk }称为交错点组。
- 1 x4
x 3
x2 0
x 1
x0 1
证： 将xk
cos
kπ n
,
(k
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos
kπ )] n
cos[kπ]
(1)k
1
T2(x) T1(x)
多项式，且 max | f(x)
-1 x 1
Ln(x)
|
1 2n(n 1)!
||
f (n 1) (x)
||
证明：
max
-1 x 1
|
f(x)
Ln(x)
|
(n
1 1)!
||
f(n1)(x)
||||
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn)
||
(n
1 1)!
||
f (n 1) (x)
||||
1 2n
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
cos[(2k
1)π] 2
0 (k
1,2, … , n)
图为T11(x)的零点，一共有11个
计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
y
y=L (x)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一致逼近的几何意义
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切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用 • 。切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
切比雪夫多项式的(简单)定义：
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
证明比较复杂，省略。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个定理的 结论非常重要
怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近 ？
…
偏差估计
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
吾将上下而求索
（5）切比雪夫多项式的极值点 …
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
1
T2(x )
T1(x
)
-1
1
T3(x ) 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
T4(x )
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数
逼近论第一第二章
第一章 预 备 知 识§1 函数逼近论简介一、 函数逼近论（approximation of funcyions ）函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下面问题： 在选定的一类函数中寻找某个函数g ，使它是已知函数f 在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示 f 而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数f 的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作f 的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的；g 对f 的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
二、逼近函数类给定函数()f x ，用来逼近()f x 的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。
逼近函数类可以有多种选择。
n 次代数多项式，亦即一切形如公式0nk k k a x =∑（其中0,,n a a 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合；n 阶三角多项式，亦即一切形如公式01(cos sin )n k k k a a kx b kx =++∑(其中0,,n a a ,0,,n b b 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合，这些是最常用的逼近函数类。
其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。
在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。
三、逼近方法给定f 并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的。
例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。
所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()g x ，使它在一些预先指定的点上和()f x 有相同的值，或者更一般地要求()g x 和()f x 在这些指定点上某阶导数都有相同的值。
数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析研究方案(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。
切比雪夫最佳逼近直线
切⽐雪夫最佳逼近直线1.2.3.\section{导数压轴题}\subsection{参变分离}\begin{theorem}{函数不等式链}{1} 当$x\geq 0$时, \[ \frac{x}{x+1}\le \frac{2x}{x+2}\le \ln \left( x+1 \right) \le \frac{1}{2}\left( x+1-\frac{1}{x+1} \right) \le x. \] \end{theorem}\subsection{设⽽不求:隐零点}\begin{theorem}{指、对数平均不等式}{zdpjz} 当实数$a\neq b$时,有 \[e^{\frac{a+b}{2}}<\frac{e^a-e^b}{a-b}<\frac{e^a+e^b}{2}.\] 且 \[\sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2}.\] \end{theorem} \begin{example}(2013年陕西)已知函数f(x)=e x,x∈R.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;(3)设a<b,⽐较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a的⼤⼩,并说明理由.\end{example}\begin{solution}\end{solution}\begin{example}(2016新课标1)已知函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2有两个零点.(I)求a的取值范围;(II)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明: x1+x2<2.\end{example}\begin{solution}\end{solution}\begin{example}(2018皖南⼋校第三次联考理科数学)已知函数f(x)=e x−x2−ax有两个极值点x1,x2(x1<x2).(1)求a的取值范围;(2)求证: e x1+e x2>4.\end{example}\begin{solution} \[\frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}=2<\frac{e^{x_1}+e^{x_2}}{2}.\] \end{solution}\begin{theorem}{Hermite-Hadamard不等式}{hhbds} 若函数$f(x)$在$[a,b]$上的⼆阶导数⾮负,则有: \[ f\left( \frac{a+b}{2} \right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b{f\left( x \right) dx}\le \frac{f\left( a \right) +f\left( b \right)}{2 \begin{example} (匈⽛利, 1914)设$f(x)=ax^2+bx+c$, $a,b,c$为实数,如果对于所有适合$-1\leq x\leq 1$的$x$值,都有$-1\leq f(x)\leq 1$成⽴,则对这些$x$的值有$-4\leq 2ax+b\leq 4$. \end{example}此题的背景是切⽐雪夫多项式的马尔科夫定理:如果具有实系数的n次多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n对所有的−1≤x≤1满⾜不等式−1≤f(x)≤1.那么它的导函数满⾜不等式−n2≤f′(x)≤n2.利⽤三⾓函数n倍⾓公式cos(0)=1,cos(x)=cos x,cos(2x)=2cos2x−1,cos(3x)=4cos3x−3cos x,cos(4x)=8cos4x−8cos2x+1,cos(5x)=16cos5x−20cos3x+5cos x,可知cos(nθ)可以表⽰成cosθ的多项式, T n(x)=cos(n⋅arccos x)是⼀个n次多项式,称为n次切⽐雪夫多项式,其中x∈[−1,1],n∈N.于是T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2−1,T3(x)=4x3−3x,T4(x)=8x4−8x2+1,T5(x)=16x5−20x3+5x,性质1. T n(x)在[−1,1]中有n个不同的实根x k=cos (2k−1)π2n,k=1,2,3,⋯,n.性质2. T n(x)在[−1,1]中有n+1个点x∗k=cos kπn,k=0,1,2,3,⋯,n,轮流取最⼤值1和最⼩值−1.例如:当n=2时, x∗k=−1,0,1.当n=3时, x∗k=−1,−12,12,1.性质3. T n(x)满⾜递推关系T0(x)=1,T1(x)=x,T n+1(x)=2xT n(x)−T n−1(x),其母函数为∞∑n=0T n(x)t n=1−tx1−2tx+t2.定理.对任意n次⾸⼀多项式P(x),设M=max,则M_{\min}=\frac{1}{2^{n-1}}.证明.引理:设n次⾸⼀多项式Q(x)的n个根\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n均属于(-1,1).在[-1,\alpha_1),(\alpha_1,\alpha_2),\cdots, (\alpha_{n-1},\alpha_n),(\alpha_n,1]内各取⼀点\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_n,则对任意⾸⼀多项式R(x),均有\max_ {x\in[-1,1]}|R(x)|\geq \min_ {0\leq i\leq n}|Q(\beta_i)|.引理的证明: (反证法)设存在R(x)使得\max_ {x\in[-1,1]}|R(x)|< \min_ {0\leq i\leq n}|Q(\beta_i)|\triangleq C.于是R(x)\in (-C,C),\forall x\in [-1,1].考虑T(x)=R(x)-Q(x),则数列T(\beta_0),T(\beta_1),\cdots,T(\beta_n)必定正负交错(如图),则T_n有⾄少n个根.然⽽R(x),Q(x)均为⾸⼀多项式,故T(x)\equiv 0.则R(x)=Q(x),显然⽭盾.回到原题.设T_n(x)为n次切⽐雪夫多项式,令Q(x)=\frac{1}{2^{n-1}}T_n(x),则Q(x)的各零点\alpha_i=\cos\frac{(2i-1)\pi}{n}(i=1,2,\cdots,n)均属于(-1,1).在引理中取\beta_i=\cos\frac{i\pi}{n}(i=0,1,\cdots,n),即得M\geq \frac{1}{2^{n-1}},当P(x)\equiv Q(x)时可取等.\begin{theorem}{}{} 设$f(x)$为⼀个$n$次多项式,⾸项为$ax^n$,定义域为$D$,值域为$I$,⽤$|D|$表⽰$D$的区间长度,则$\frac{|I|}{2}\geq 2^{1-2n}\cdot |a|\cdot |D|^n$.事实上,等号成⽴时, $\frac{|I|}{2}$也就是$|f(x)|_{\max}$的最⼩值.等号成⽴的条件为$f(x)$经过平移及伸缩变换使得定义域为$D$的$T_n$. \end{theorem}\begin{solution} 我们⽤$[a,b]$表⽰定义域,这样$|D|=b-a$.当$a=-1,b=1$时,我们已证明了多项式$T_n(x)$的范数为$\frac{1}{2^{n-1}}$.为了求出它在任意区间$[a,b]$上的范数,必须采⽤把区间$a\leq y\leq b$映射到区间$-1\leq x\leq 1$的线性变换$x=\frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a}$.此时我们得到多项式 \[ p\left( y \right) =T_n\left( \frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a} \right) =\left( \frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a} \right) ^n+\cdots \] 它的最⾼次项系数⾮$1$⽽为$\frac{2^n}{(b-a)^n}$.把$p(y)$⽤这个数来除,我们得到在区间$[a,b]$上的切⽐雪夫多项式 \ [ \widehat{T}_n\left( y \right) =\frac{\left( b-a \right) ^n}{2^n}T_n\left( \frac{2}{b-a}y-\frac{a+b}{b-a} \right). \] 它的最⾼项系数已为$1$了.易见,它的范数等于 \[ \lVert \widehat{T}_n\left( y \right) \rVert =\frac{\left( b-a \right) ^n}{2^n}\lVert T_n\left( y \right) \rVert =\frac{\left( b-a \right). ^n}{2^{2n-1}} \] 最后乘上⾸项的系数$a$,我们便得到了 \[\frac{|I|}{2}\geq 2^{1-2n}\cdot |a|\cdot |D|^n.\] \end{solution}对于切⽐雪夫最佳逼近直线,有如下常⽤结论:\begin{theorem}{切⽐雪夫最佳逼近直线理论}{} 若函数$f(x)$在区间$[m,n]$上具有⼆阶导数,且$f''(x)$在区间$[m,n]$上不变号,则$f(x)$的最佳逼近直线为 \[ g\left( x \right) =k\left( x-\frac{m+c}{2} \right) +\frac{f\left( m \right) +f\left( c \right)}{2}, \] 其中$k=\frac{f\left( m \right) -f\left( n \right)}{m-n}$,实数$c$的值由⽅程$f'(c)=\frac{f\left( m \right) -f\left( n \right)}{m-n}$解得. \end{theorem}\subsection{切⽐雪夫最佳逼近直线}\begin{example}(2016年天津⾼考)设函数f(x)=x^3-ax-b,x\in \mathbb{R},其中a、b\in \mathbb{R}.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x_0,且f(x_1)=f(x_0),其中x_1\neq x_0.求证: x_1+2x_0=0;\end{solution}Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
逼近理论
第一类切比雪夫多项式
X=C[-1,1]，x(t)=tn，n∈N固定。Y=span{y0,y1,…, yn-1}，
j0
而cosnθ在[0,π]有n+1个极值点，且交错地取值为±1。
定义
Tn (t) cos(n arccos t) , t [1,1], n 0,1, 2,L
称其为第一类n阶切比雪夫(чебыщев)多项式。
逼近理论之定理6
定理8.2.6：由下式定义的多项式：
T°n (t) 2(n1)Tn (t) 2(n1) cos(narccos t)
max
t[ 1,1]
T°n (t)
T°n
x y
x °y
max x(t) °y(t) t[ 1,1]
其中°y Y 任意，所以 x °y 是任意tn系数为1的多项式。
谢谢！
设y是实banach空间cab的n维子空间对于任意的xcab唯一存在y定理824指出了最优逼近唯一存在的条件下面需要解决最优逼近函数如何确定的问题
函数逼近问题
函数逼近是数值分析的基础，同时在求取 微分方程数值解等方面有重要应用。
具体说来，函数逼近问题是指：在某一区 间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。
定理8.2.4：设Y是实Banach空间C[a,b]的n维子空间， 对于任意的x∈C[a,b]，唯一存在y0∈Y是对x按Y的最 优逼近的充要条件是：Y满足Haar条件。
切比雪夫不等式应用示例讲解
切比雪夫不等式应用示例 ， 证：只证X 为连续型随机变量的情况
设ƒ(χ)为X 的概率密度，则有
例1 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数，并且λξηe =（0>λ），若ηE 存在，求证
对于任何实数a 都有λξλξEe e a P a ⋅≤≥-}{
证明：可用切贝晓夫不等式来证.
令y a ξ=-，则y 的取值是任意的.
因为e λξ的期望存在，所以()a e λξ-的期望存在，即y e λ存在.
当a ξ≥即0y a ξ=-≥时： 1y e
λ> 从而1y Ee λ>
所以()0y P a Ee λξ-≥≤
整理即得：()a P a e Ee λλξξ-≥≤⋅
例 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，
试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。
解: 令X 表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)
可用切贝晓夫不等式进行估计此概率。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev_polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
【高考数学经典题型】纵向距离——切比雪夫最佳逼近线(一题多解)
1 / 6纵向距离——切比雪夫最佳逼近线已知32()6f x x x ax b =−++，对于任意实数a 和b ，总存在0[0,3]x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m的最大值. 答案：2解法一：分类讨论+绝对值不等式由题意，,a b R ∀∈，max ()f x m ≥，从而max min [()]f x m ≥.设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，记32()6g x x x ax b =−++，2'()312g x x x a =−+，12(12)a ∆=−，(0)g b =，(3)327g a b =+−.(1)若0∆≤，即12a ≥时，'()0g x ≥恒成立，()g x 在[0,3]递增，所以max{|(0)|,|(3)|}max{||,|327|}M g g b a b ==+−，所以119(|||327|)|327|222M b a b a ++−−≥≥≥(2)若0∆>，即12a <时，令'()0g x =，解得12x =−，22x =+①若0a ≤，则1203x x ≤<<，()g x 在[0,3]递减， 同(1)可得，1127(|||327|)|327|222M b a b a ++−−≥≥≥②若09a <≤，则1203x x <<≤，所以()g x 在1[0,]x 递增，在1[,3]x 递减，321()2)169g x a b a =++−−且(3)(0)g g ≤所以321max{|()|,|(3)|}max{|2(12)16|,|327|}9M g x g a b a a b ==++−−+−， 所以332211(|2(12)16||327|)|)11|22929M a b a a b a a ++−−++−−+−≥≥≥ 当9a =，2b =−时，min 2M =③若912a <<，则1203x x <<<，所以()g x 在1[0,]x 递增，在12[,]x x 递减，在2[,3]x 递增，322()2)16g x a b a =+−−−且2()(0)g x g >所以321max{|(0)|,|()|,|(3)|}max{||,|2)16|,|327|}M g g x g b a b a a b ==+−−+−，所以33221(|||2)16|)8)2M b a b a a a +++−−−+−≥≥令32()8)(912)h a a a a =−−<<，'()10h a =>， 所以()(9)2h a h >=，所以2M >综上所述，min 2M =，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法二：分类讨论，法一的改进设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，记32()6g x x x ax =−+，则min max min 1(()())2M g x g x =− 22'()3123(2)12g x x x a x a =−+=−+−，当[0,3]x ∈时，23(2)[0,12]y x =−∈(0)0g =，(3)327g a =−.(1)若12a ≥时，'()0g x ≥恒成立，()g x 在[0,3]递增，所以min 119[(3)(0)](327)222M g g a =−=−≥，(2)若0a ≤时，'()0g x ≤恒成立，()g x 在[0,3]递减， 所以min 1127[(0)(3)](273)222M g g a =−=−≥，(3)若012a <<时，令'()0g x =，解得12x =−，22x =+①若09a <≤，则1203x x <<≤，所以()g x 在1[0,]x 递增，在1[,3]x 递减，321()2)169g x a a =+−−且(3)(0)g g ≤所以32min111[()||(3)][)11]2229M g x g a a =−=−+−≥， 当9a =，2b =−时，min 2M =②若912a <<，则1203x x <<<，所以()g x 在1[0,]x 递增，在12[,]x x 递减，在2[,3]x 递增，3 / 6322()2)16g x a a =−−且2()(0)g x g >所以32min1111[max{(),(3)}(0)][()(0)]8)22M g x g g g x g a a =−−=−+−≥， 令32()8)(912)h a a a a =−−<<，'()10h a =>， 所以()(9)2h a h >=，所以min 2M >综上所述，min 2M =，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法三：三点控制+绝对值不等式设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，记32()6g x x x ax b =−++，则(0)g b =，(1)5g a b =+−，(3)327g a b =+−.由于2(0)3(1)(3)12g g g −+=−，且|(0)|M g ≥，|(1)|M g ≥，|(3)|M g ≥， 所以62|(0)|3|(1)||(3)||2(0)3(1)(3)|12M g g g g g g ++−+=≥≥所以2M ≥，要保证取到等号，令(0)(3)g g =，解得9a =，再令(1)(0)g g =−，解得2b =−，此时32()692f x x x x =−+−，易求得max ()2f x =，所以M 的最小值为2.所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法四：三角换元法3232()6|6128(12)8|f x x x ax b x x x a x b =−++=−+−+−++3|(2)(12)(2)216|x a x a b =−+−−++−因为[0,3]x ∈，所以2[2,1]x −∈−，令22cos x t −=，[,]6t ππ∈所以3()()|8cos 2(12)cos 216|f x g t t a t a b ==+−++−cos3cos |82(12)cos 216|4t ta t ab +=⋅+−++−|2cos3(218)cos 216|t a t a b =+−++−当9a =，2b =−时，()()2|cos3|f x g t t ==，此时max ()2f x =当9a ≠或2b ≠−时，()|2|cos3||(218)cos ||216|f x t a t a b ≤+−++− 显然|2|cos3||(218)cos ||216|t a t a b +−++−的最大值大于或等于2 此时max ()2f x ≥综上所述，max min [()]2f x =，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法五：切比雪夫切线法由题意，,a b R ∀∈，max ()f x m ≥，从而max min [()]f x m ≥.设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，32()|6()|f x x x ax b =−−−−可以看作32()6g x x x =−与()h x ax b =−−图像上点的纵向距离，则问题等价于求函数32()6g x x x =−与()h x ax b =−−图像上点的纵向距离的最大值的最小值.记(3,27)A −，连接OA ，则9OA k =−，所以直线OA 方程为9y x =−，此直线恰好与()g x 图像相切于点A ，记直线OA 为1L ，设直线2L 与1L 平行且与()g x 的图像相切于点00(,)B x y ，2'()312g x x x =−，令23129x x −=−，解得1x =或3x =，所以切点(1,5)B −，从而切线2L 的方程为94y x =−+ 所以min 4022M −==，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法六：构造平口单峰函数32()69+(9)f x x x x a x b =−+−+，令32()69g x x x x =−+，5 / 622'()31293(1)(3)g x x x x x =−+=−−，所以()g x 在[0,1]递增，在[1,3]递减，且(0)(3)0g g ==，(1)4g =，()g x 是“平口单峰”函数， 所以max min 40[()]22f x −==，所以2m ≤，即实数m 的最大值为2. 评论与赏析：本题求函数()|()()|f x g x ax b =−+(,a b 为参数，[,]x m n ∈)最大值的最小值问题，是一类多变量双重最值问题，也是学考，高考，自招，竞赛中常考的题型，多年来一直被当做难题，原因就在于含有多个参数，题目表述上也不常规，首先在审题比较难，既有存在，又有恒成立，既有最大值，又有最小值，很多同学初读题目不知云里雾里，审题的关键是抓住“对于x 是存在，对,a b 是任意实数都成立”.第一层意思是max ()m f x ≤，这时()f x 的最大值，可以看成,a b 的二元函数(,)M a b ，注意已经没有了变量x ；第二层意思是(,)m M a b ≤对于任意的实数,a b 恒成立，即问题转化为先求关于x 的最大值，再求这个最大值关于,a b 的最小值.解法一与解法二是常规思路分类讨论，但是对基本功要求非常高，运算量很大，可以说在考场上学生用这种方法很难算到底，解法一结合绝对值不等式避免比较大小，解法二把参数b 单独分出来，结合简单图形很容易把绝对值去掉；解法三书写简洁，是做解答题的最佳书写方式，此法解题的关键是：选取三个关键的代表数进行逼近，它们分别是两个区间端点和一个区间中的点(此点最为关键，实际上就是法五中的切点B 的横坐标，也是法六中的极大值点)，用这三个点的函数值近似的表示整个区间上的函数值，然后利用绝对值不等式的性质进行放缩，消去字母,a b 得到常数，进而求出最小值，这里体现了用局部研究整体的思想方法；解法四采用三角换元，利用三角函数有界性以及绝对值不等式的性质，进而求出最小值；解法五与解法六，本质上是数形结合，其中解法五把绝对值理解成“纵向距离”，利用切线逼近，解法六作了一个代换，相当于把切线转成平行x 轴的直线，通过图形直观很容易求出最小值.相似题1已知函数1()||f x x ax b x =+−−，当1[,2]2x ∈时设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为_______. 答案：14相似题2设函数()|f x ax b =−−，若,a b R ∀∈，总0[0,4]x ∃∈，使得m x f ≥)(0成立，则实数m 的取值范围为________. 答案：14相似题3已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为,(,,0M a b R c ∈>为常数)，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a b c ++=________. 答案：2 相似题4设函数3()|(1)|f x x ax b =−−−，其中0,a b >∈R ，则()f x 在区间[]0,2上的最大值的最小值为_________. 答案：14。
专题06 切比雪夫函数(解析版)
专题06 切比雪夫函数一．考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。
看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。
大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。
深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。
最后就是不了了之。
然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。
切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。
数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。
二．经验分享1.切比雪夫不等式①马尔科夫不等式：()(),(X 0)E X P X αα≥≤≥；②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：()21|X |k P k μσ-≥≤()0,k μσ>其中是期望，是标准差. 2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。
主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。
也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能正确，也有可能不正确。
但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。
发生的概率是最大。
但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。
三、题型分析（一）切比雪夫函数的巧解 例 1.已知函数()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是 ． 【传统解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤ 对称轴为压轴，所以[]1,1a x =∈-，()()R b a b x x f ∈,2+=， 当1x =±，|(1)|=|1+b|1f ±≤,故此次1,b =-12a b +的最大值()111+122⨯-=- 【变式训练】已知函数)0()-2()(2>++=m n x m mx x f ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则)32(f =【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，也就是对称轴应该是0x =；2=02mx m-=-，解之得：m 2=，2(x)2x f n =+,故此|(1)||2n |1f =+≤恒成立； 故此1n =-,所以2(x)2x 1f =-.91-)32(=∴f .（二）其他类型函数的例2．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【变式训练1】 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， ()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， 所以当0x ≥时，()12x f x +=单调递增，故()122x f x +=≥；当0x <时，()()21112x f x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，取等号，【变式训2】【高2017级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12题】已知直线2y x =与曲线(x)ln(ax b)f =+相切，则ab 的最大值为（ ）A.4e B.2eC.eD.2e【答案】C【解析】由题意得：设切点为00(x ,y )A ，因为切点既在直线2y x =上，也在曲线(x)ln(ax b)f =+上，所以得到：002x ln(ax b)=+①；同时求导：'2y =和'ay ax b=+，切点在00(x ,y )A ，故此02a ax b =+②；联立①②得：01ln 22a x ⎛⎫=⎪⎝⎭再带入②整理得：1ln 222a aa b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简：22ln ln 222222a a a a a a b ab ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0a >； 构造函数22(x)ln(),(x 0)222x x x H =->，'1(x)ln ,(x 0)22x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ 故当(0,2x e ∈，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递增； 当()2,x e ∈+∞，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递减。
8.绝对值函数与切比雪夫逼近-解析版
函数加绝对值与切比雪夫逼近绝对值的概念是初一学习的，应该是很简单的，但是，高中函数命题中有一种常见的手法便是给函数加绝对值.从函数值角度讲，加绝对值使得函数值域非负，从图象角度讲，加绝对值使得图象保留x 轴上方不变，将x 轴下方沿着轴翻折上去.从几何角度讲，加绝对值便是距离关系的刻画，或者叫做最佳逼近.下面我们将从四个角度逐步展示其命题手法.基本命题原理1.加绝对值后考察图象类；2.加绝对值后考察函数性质类；3.去绝对值处理类；4.切比雪夫最佳逼近.常见命题手法手法1.加绝对值后考察图象类.这类问题最经典的便是对数函数.1已知函数f (x )=ln x ,x >0,-x 2+1,x ≤0,若方程f x =a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则ax 1x 2x 3的取值范围是()A.0,12B.-239,0C.-12,0D.-12,0解析：函数f (x )在(-∞,0]上单调递增，在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，其图象如图，方程f x =a 有三个不同的实数根，即直线y =a 与y =f (x )的图象有三个公共点，则0<a ≤1，由|ln x 2|=|ln x 3|，x 2≠x 3得：ln x 2+ln x 3=0，即x 2x 3=1，而-x 21+1=a ，x 1≤0，则x 1=-1-a ，于是得ax 1x 2x 3=ax 1=a (-1-a )=-a -a 2=--a -122+14，显然a =12时，(ax 1x 2x 3)min =-12，当a =1时，(ax 1x 2x 3)max =0，所以ax 1x 2x 3的取值范围是-12,0. 故选：C 注：此题中x 2x 3=1是经典的结论.下面再看一道函数加绝对值考察零点的问题，这类问题常用来作为压轴题考察学生的分类讨论能力，难度较大，读者需细心体会.2(2020天津卷)已知函数f (x )=x 3,x ≥0−x ,x <0，若函数g (x )=f (x )−|kx 2−2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k的取值范围为()A.-∞,-12∪(22,+∞) B.-∞,-12∪(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22) D.(-∞,0)∪(22,+∞)解析：注意到g(0)=0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx-2|=f(x)|x|恰有3个实根即可，令h(x)=f(x)|x|，即y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图象有3个不同交点.因为h(x)=f(x)x=x2,x>01,x<0;当k=0时，此时y=2，如图1，y=2与h(x)=f(x)|x|有1个不同交点，不满足题意；当k<0时，如图2，此时y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|恒有3个不同交点，满足题意；当k>0时，如图3，当y=kx-2与y=x2相切时，联立方程得x2-kx+2=0，令Δ=0得k2-8=0，解得k=22(负值舍去)，所以k>22.综上，k的取值范围为(-∞,0)∪(22,+∞).故选：D.手法2.加绝对值后考察函数性质类近两年全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019年一卷的11题，将常见的正弦函数套上绝对值来考察函数的性质，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯.3(2019全国卷一)关于函数f x =sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f x 是偶函数 ②f x 的最大值为2③f x 在-π,π有4个零点 ④f x 在区间π2,π单调递减其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期性是两个必备的过程.解：f x =sin |x |+|sin x |的定义域为R ，因为f -x =sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，故f (x )为偶函数，结论①正确，再分析周期性，周期为2π.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当x ∈[2k π,(2k +1)π],k ∈N *，f x =sin x +sin x =2sin x 当x ∈((2k +1)π,(2k +2)π],k ∈N *，f x =sin x -sin x =0故当x ≥0时，f x =2sin x ,x ∈[2k π,(2k +1)π],k ∈N *0,x ∈((2k +1)π,(2k +2)π],k ∈N *故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，f x 在-π,π 有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，f x 在区间π2,π 单调递减，结论④正确.答案A因此，此类问题的解题顺序可以归纳为：第一，分析奇偶性，周期性，第二，去绝对值，写成分段函数，第三，画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值. 我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力.手法4.切比雪夫最佳逼近设f (x )是定义在[m ,n ]上的连续函数，称E =max m ≤x ≤n|f (x )−(ax +b )|为f (x )与直线g (x )=ax +b 的偏差.若存在x 0∈[m ,n ]使得|f (x )−g (x 0)|=E ，则称x 0为直线g (x )的偏差点，记集合A ={g (x )=ax +b |a ,b ∈R }，若存在g (x 0)∈A 使得max m ≤x ≤n|f (x )−g (x 0)|=min a ,b ∈R max m ≤x ≤n|f (x )−g (x )|则称g (x 0)为f (x )在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.关于切比雪夫意义下的最佳逼近直线的存在性及计算方法，有如下的三条结论：结论1. 若f (x )在[m ,n ]上连续，则f (x )的最佳逼近直线存在且唯一.结论2. 直线g (x )为连续函数f (x )在[m ,n ]的最佳逼近直线的充要条件为g (x )至少有三个偏差点，且他们轮流为正负偏差点.结论3. 若f (x )在[m ,n ]上二阶导数不变号，则f (x )的最佳逼近直线为g (x )=f (n )−f (m )n −m x −m +c2 +f (m )+f (c )2其中c 是方程f (c )=f (n )−f (m )n −m.4设F (x )=|x −ax −b |,a ,b ∈R ，对∀a ,b ∈R ，总存在x 0∈[0,4]，使得f (x )≥m 成立，求m 的取值范围.解析：由于函数f (x )=x 在x ∈[0,4]二阶导数不变号.由结论3可知：f (x )的最佳逼近曲线为g (x )=f (4)−f (0)4−0x −0+c2 +f (0)+f (c )2其中f (c )=f (4)−f (0)4−0=12，由于f (x )=12x⇒c =1，故最佳逼近曲线的解析式为：g (x )=12x −12 +12=x 2+14则此题只需使得x −12x −14 在x ∈[0,4]的最小值即可，即m ≤14.小结：对于|f (x )−(ax +b )|型函数求最值，若f (x )导数不变号，可用结论3求出最佳逼近曲线.5已知函数f x =ax +4x+b a ,b ∈R 在区间[1，4]上的最大值为M ，当M 取到最小值时则a +b 2=.解析：本题我们用结论2来完成.f x =ax +4x +b =4x -(-ax -b ) 在区间[1，4]上的最大值，即为函数h (x )=4x与y =-ax -b 在区间[1,4]上的函数值差的绝对值的最大值.h (x )=4x 在区间[1,4]上的两个端点为A (1,4),B (4,1)，过A ,B 的直线方程为y =-x +5.如图，h (x )的斜率为-1的切线方程是y =-x +m ，则-x +m =4x，x 2-mx +4=0，Δ=m 2-16=0，m =4(m =-4舍去)，切线方程为y =-x +4，因此使得M取得最小值的直线方程为y =-x +92，即a =1，b =-92，所以a +b 2=854．注：此题亦可用结论3来做，此处用结论2的目的便是熟悉切比雪夫逼近的几何背景.练习题1关于函数f (x )=cos |x |+|sin x |的下述四个结论中，正确的是()A.f (x )是奇函数B.f (x )的最大值为2C.f (x )在[-π,π]有3个零点D.f (x )在区间0,π4单调递增【答案】D2已知函数f x =sin x +cos x +sin x -cos x ，下列结论正确的是()A.函数图像关于x =π4对称B.函数在-π4,π4上单调递增C.若f x 1 +f x 2 =4，则x 1+x 2=π2+2k πk ∈Z D.函数f x 的最小值为-2【答案】A手法3.去绝对值讨论型.这类问题重点在于取绝对值，等价转化去掉绝对值转化为一个正常形式的函数去讨论.但是，去绝对值过程中的分类讨论难度较大，特别是2016年全国三卷的压轴题，繁杂的讨论让学生无能为力.6(2019年浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )=ax 3-x ，若存在t ∈R ，使得|f (t +2)-f (t )|≤23，则实数a 的最大值是.解析：存在t ∈R ，使得|f (t +2)-f (t )|≤23，即有|a (t +2)3-(t +2)-at 3+t |≤23，化为2a 3t 2+6t +4 -2 ≤23，可得-23≤2a 3t 2+6t +4 -2≤23，即23≤a 3t 2+6t +4 ≤43，由3t 2+6t +4=3(t +1)2+1≥1，可得0<a ≤43.则实数a 的最大值是43.。
初中数学 什么是数据的切比雪夫不等式 如何应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围
初中数学什么是数据的切比雪夫不等式如何应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围
数据的切比雪夫不等式是一种用于估计数据离散程度的统计不等式。
它可以告诉我们关于数据集中有多少观测值落在某个距离中心的范围内。
具体而言，切比雪夫不等式可以用来估计数据的波动范围。
以下是如何应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围的步骤：
1. 收集数据：首先，收集包含观测值的数据集。
2. 数据准备：对于数据集，进行必要的数据清洗和处理。
确保数据的格式正确，缺失值被处理。
3. 计算平均值和标准差：计算数据的平均值（记为μ）和标准差（记为σ）。
平均值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。
4. 应用切比雪夫不等式：根据切比雪夫不等式，至少有(1 -1/k^2)的数据落在距离平均值k 个标准差范围内。
其中，k是一个大于1的常数。
5. 计算波动范围：根据切比雪夫不等式，可以得到波动范围的一个估计值。
波动范围等于k 个标准差的长度，即k*σ。
需要注意的是，切比雪夫不等式提供了一个上界估计，它并不会告诉我们实际的波动范围。
实际的波动范围可能会比切比雪夫不等式给出的估计值更小。
因此，在使用切比雪夫不等式时，需要谨慎解释其结果。
总结起来，数据的切比雪夫不等式是一种用于估计数据离散程度的统计不等式。
应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围的步骤包括收集数据、数据准备、计算平均值和标准差、应用切比雪夫不等式和计算波动范围。
切比雪夫不等式提供了一个上界估计，它可以帮助我们估计数据在距离平均值一定范围内的分布情况。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
基于切比雪夫函数逼近的超宽带脉冲设计方法
基于切比雪夫函数逼近的超宽带脉冲设计方法
郝润芳;李鸿燕;王华奎
【期刊名称】《计算机仿真》
【年(卷),期】2008(000)004
【摘要】频谱共存与兼容问题是超宽带无线通信领域必须解决的一个关键问题.为了避免超宽带系统对现有窄带无线系统的干扰,一个有效的设计方法是设计适合传输的脉冲波形.将超宽带脉冲波形设计问题等效为切比雪夫函数逼近问题,利用数值分析中Remez算法,通过一次次迭代可以获得满足要求的超宽带脉冲.Matlab仿真结果表明,用这种方法设计的脉冲功率谱符合目标频谱掩模的约束要求,在二进制脉冲位置调制跳时超宽带系统中,这种脉冲在高斯信道下单链路误比特率和多用户等方面的性能要优于高斯二阶导数脉冲.
【总页数】4页(P305-307,316)
【作者】郝润芳;李鸿燕;王华奎
【作者单位】太原理工大学信息工程学院,山西,太原,030024;太原理工大学信息工程学院,山西,太原,030024;太原理工大学信息工程学院,山西,太原,030024
【正文语种】中文
【中图分类】TN92
【相关文献】
1.基于切比雪夫近似的极窄脉冲超宽带自导信号设计 [J], 陈永森;陈航;王新宏;燕卿
2.基于切比雪夫网络修正的噪声优化超宽带LNA设计 [J], 王宁章;雷琳琳;闵仁江
3.TE01弯头切比雪夫设计方法 [J], 王强;郭凯;杨春;唐先发;
4.基于MATLAB/脉冲响应不变法的切比雪夫Ⅰ型数字滤波器设计 [J], 王艳文;杨楠
5.基于切比雪夫变换的超宽带功分器设计 [J], 何建平
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计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培训课件
cos(nθθs )c in o(snθθ )si
co s1 () n θ cos(θ n s θi) nc(o θ n
Tn(x)在 1,[1]上有的 n个 零不 点同 xk co(s22k 1 n)π , (k1,2 …,,n)
证：将xk
cos(2k 1)π, 2n
(k
1,2,…, n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccso(cos(2k 1)π)] 2n
cos[(2k 1)π] 2
计算方法最佳一致
逼近多项式-切比 雪夫多项式
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
函数逼近的基本概念
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题： 对于函数类A中给定函的数
f(x),要求在另一类较简单便的于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(,x使) p(x)与f(x的) 误差在某
种度量意义下达到最. 小
定1 理(Weaisesrf)s(若 tx rC ) [b a],则 ,ε0, 多项式 使p得 (x),
得知：情况a）如 为果 奇n数，则n2(xT)只含n的偶， 次方 Tn1(x)只含x的偶方 数， 次从而左n端 1(xT)只含x的偶； 次 情况b）如果n为，偶则数2xn(Tx)只含x的奇， 次Tn方 1(x) 只含x的奇次方，左从端而 nT1(x)只含x的奇次方
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{}m in m ax ()()f x p x -型问题
——切比雪夫最佳函数逼近理论应用
一、知识点
设函数()f x 在[],a b 上有二阶导数，且()f x ''在[],a b 上不变号(即恒为正或负)，则存在()f x 在[],a b 上的线性最佳一致逼近多项式()1p x 。
（其中1()p x 指1次最佳逼近，简称为一次函数、一次多项式）
①理论证明与计算：略②几何意义计算：直线()1y p x =与弦MN 平行,且过线段MQ 的中点D ，其方程为
221(
)()()()
()22f a f x
a x f
b f a p x x b a ++-⎛⎫
=+⋅- ⎪-⎝⎭
说明：根据理论，Q 为()()1f x p x -的极值点，且仅有1个。
∴212()()0f x p x ''-=，而12()MN p x k '=，所以2()MN
f x k '=∴Q 点的几何特征是：过点Q 的直线l MN 且l 与()y f x =相切
此时：
{}1min max ()()max ()()
a x
b a x b f x p x f x p x <<<<-=-
其中的一个核心要素：会求Q 的横坐标
方法1：结合几何特征，利用()2MN
f x k '=方法2：结合特殊图像，可以得出的一些结论
①若()f x 的图像是平口单峰函数，显然易知此时图像特征为（示意图为张口朝上）
：（ⅰ）0MN k =，Q 就为()f x 极值点；
（ⅱ）()()f a f b =；
（ⅲ）直线l 处于正中间；（ⅳ）{}()()2min max ()()a x b f a f x f x p x <<--=②若()f x 的图像不是平口单峰函数，构造为平口单峰函数
二、典例分析【2016~2017台州高三上期末】
【例题1】.已知函数()()1,f x x ax b a b R x =+--∈，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值记为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为_________。
解：
最佳函数逼近理论法
令1
y x x =+，()1p x ax b
=+所以()19
04p x x =⋅+，即9
0,4a b ==，
0.521191
min max max 044
x x ax b x x x x ≤≤⎧⎫+--=+-⋅-=⎨⎬⎩⎭其他方法：
绝对值三角不等式法：
各位老师，若还有其他方法，请提出来，相互学习哈
【例题2】.
设函数()f x ax b =--，,a b R ∈，当[]0,4x ∈时，()f x 的最大值记为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为_________。
解：
最佳函数逼近理论法1：利用性质
显然()0f x ''<在[]0,4
上不变号，如图易得12MN k =
，()f x '=
那么21
()2f x '==，解得21x =，则
()1,1Q ，继而求得11,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭故111
()24
p x x =+所以11
,24a b ==
，
{
})204040411111min max max max 124244
x x x ax b x ≤≤≤≤≤≤--=-=-=
最佳函数逼近理论法2：构造平口单峰函数法
(
)()f x ax b =
-+，要使()1p x 为一次函数，则只能添加一次式
构造y x λ=，由[]0,4x ∈，得()0,0M ，()
4,24N λ+当024λ=+时平口，即1
2
λ=-
即得12
y x =
，所以构造11()22f x x a x b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
，如图12y '=
21012
x =⇒=
∴{
}()()040401111min max 2224x x y y ax b x a x b ≤≤≤≤-⎛⎫-=+++== ⎪⎝
⎭其他方法：
绝对值三角不等式法：略
其他方法：
绝对值三角不等式法：
各位老师，若还有其他方法，请提出来，相互学习哈。