应力应变分析法

l0 式中，P为外载荷；
P A
A0为试样初始面积；真实应变
l0为试样初始基长；
l dl
l为l0的增量；
l l0 式中，P为外载荷；
(6 3) (6 4)
A为试样瞬时截面积；
l为试样瞬时长度；
真实应力应变σ，ε与工程应力应变S,e的关系
发生颈缩之前， σ 和ε可以用下式计算
S
A0 A
E
(2N
)b
' f
(2N
)c
(6 20)
式中，2N为疲劳寿命；
' f
为疲劳强度系数，简化计算中取
' f
f；
' f
为疲劳延性系数，简化计算中取
' f
f；
b为疲劳强度指数（弹性线的斜率），
一般取b 0.05 ~ 0.12；
c为延性指数（塑性线的斜率），
一般，延性材料c 0.6，高强度合金c 0.5。
局部应力应变分析法与名义应力法的比较
项目 基本参数 疲劳特性
名义应力法 应力（名义应力） 应力疲劳，高循环疲劳
局部应力应变法 应变（局部应变） 应变疲劳，低循环疲劳
失效循环范围 高循环(104~105)~5*105 低循环103~(104~105)
估算寿命
估算总寿命
估算裂纹形成寿命
基本材料曲线
材料S-N曲线，古德曼图
P4点：N
104;
p
0.0132
* e
1.91
, 对应104次循环塑性分量；
式中，e*为弹性线上对应N 104点的应变幅度。 连接P3P4点得到 p N直线
把两条直线叠加，得到总应变范围与寿命N的关系曲线。
通用斜率法
曼森通过对29种材料的疲劳试验结果归 纳出的一种方法。
弹性线的斜率为-0.12，塑性线的斜率为 -0.6。
第1次升载时，按循环应力-应变曲线由O->A， 然后按迟滞回线由A->B，之后按迟滞回线升载 ->C。
当由C点降载至D时，在B点前按以C点为原点 的迟滞回线降载，降至B点后，则按照原来的 变化规律，按以A点为原点的迟滞回线变化降 载至D。
由D点升载时，在达到A点前，按以D点为原点 的迟滞回线变化。
在曼森-科芬方程（6-20）中： 弹性线
塑性线
e
' f
(2N )b
2E
p 2
' f
(2N )c
(6 21) （6 22）
将式(6-20)、(6-21)和(6-22)画在同一坐标图上，得到通用斜率法的应变 寿命曲线。
弹性线和塑性线的交点所对应的寿命N称为
转变寿命NT , NT 104 ~ 105。 N NT时，塑性应变占优势，属于低周疲劳。 N NT时，弹性应变占优势，属于高周疲劳。
循环硬化与循环软化
金属材料在低周疲劳初期，由于循环应力的作用会出现循环硬化和 循环软化现象。
循环硬化：在应变范围Δε为常数的情况下，应力随着循环次数的增加而 增加。或者说材料变形抗力随循环次数的增加而增加，然后达到稳定状 态的过程。
另一种定义：在应力幅σa为常数的情况下，应变幅εa随着循环次数的增 加而逐渐减少，最后趋于稳定的过程。
以为ε横坐标、 σ为纵坐标连接起来的这些迟滞 环顶点的曲线称为材料的循环应力应变曲线。
循环应力应变的测定方法
多试样等幅阶梯加载法（常规方法）
使用若干个试样，每一个试样在一定的应力幅值 下循环，直到得到一条稳定的闭合迟滞回线。将 迟滞回线的端点连接起来，得到的光滑曲线即为 循环应力应变曲线。
快速试验
与单调应力应变曲线的比较：
式中，为应力幅；K ' 为循环强度系数；
n'为循环应变硬化指数，取值范围0.10 ~ 0.20；
' f
为疲劳强度系数，
' f
f
b 350MPa;
' f
为疲劳延性系数，
' f
f
ln
A0 A
ln 1
1
K为单调强度系数；
n为应变硬化指数；
f 为真断裂强度；
f 为真断裂延性系数；
K ' ( p )n'
1
E
K
'
n'
K'
' f
( f )n'
1
p
' f
f
n'
1
E
' f
'
n'
(6 14) (6 15) (6 16) (6 17) (6 18)
f K ( f )n
K
f f n
1
p
f
f
n
1
E
f
f
n
弹性应变 塑性应变
(6 10) (6 11) (6 12) (6 13)
低周疲劳采用局部应力应变法求解，基本的材料曲线为：
循环应力-应变曲线； 应变-寿命曲线。
6
一.循环应力-应变曲线与单调应力-应变曲线
单调应力-应变曲线（材料在单调加载下的应力-应变曲线） 曲线分为“工程应力-应变曲线”和“真实应力-应变曲线”
工程应力
P S
A0 工程应变
(6 1)
e l (6 2) 真实应力
机械强度与可靠性
西南交通大学电子讲义
第6章 局部应力应变分析法
1
机械强度与可靠性——
第6章 局部应力应变分析法
6.1 概述
对于应力水平较低，寿命长的情况，用应力-寿命曲线（SN曲线）描述材料/零件的疲劳特性是恰当的。
许多工程构件，在整个使用寿命期内，所经历的载荷次数并 不多。
例如：压力容器若每天承受两次载荷循环，则在30年的使用期内， 载荷的总循环数还不到2.5*104次。
S
l l0
S(1 e)
(6 5)
l l0
dl l
ln
l l0
ln(1
e)
(6 6)
材料的真应力与塑性应变间的关系为
K ( p )n
(6 7)
式中，
为塑性应变；
p
n为应变硬化指数；
K为单调强度指数，即 p 1时的真应变。
材料的真断裂强度σf与真断裂延性εf
f
Pf Af
(6 8)
材料循环应力-应变曲线， ε-N曲线
变形
弹性变形，应力应变成正 塑性变形较大，应力应
比
变不成正比
机械强度与可靠性——
第6章 局部应力应变分析法
6.2 低周疲劳
低周疲劳与高周疲劳
一般将失效循环数小于104-105次循环的疲劳称为低周疲劳； 将失效循环数大于104-105循环的疲劳称为高周疲劳。
在寿命较短的情况下，设计应力或应变水平可以高一些，以充分发 挥材料的潜力。这样可能使构件的某些高应力处进入塑性屈服。
众所周知，对于延性较好的材料，屈服后应变的变化大，应 力的变化小，因此用应变作为低周疲劳性能的控制参量比应 力更好。
载荷水平高（超过屈服应力）、寿命短（<104），称之为 应变疲劳或低周应变疲劳。
6.3 计数法
将应力(载荷)-时间历程简化为一系列的全循环或半循环的 过程，来计算循环个数的方法，叫作“计数法”。
因此，只要最大局部应力应变相同，疲劳寿命就相同。因而，应力集 中零件的疲劳寿命，可以认为与局部应力应变值相等的光滑试样的疲 劳寿命相同。
该方法于20世纪60年在低周疲劳基础上发展起来，适用于高 低周疲劳计算。
局部应力应变分析法的优缺点
优点：
应变可以测量，而且被证明是一个与低周疲劳相关的极好的参数。 使用简单。只需知道应变集中处的应力应变和材料应变疲劳试验数据。 可以考虑应力顺序的影响，特别适用于随机载荷下的寿命计算。 易于与计数法结合，利用计算机进行复杂计算。
莫罗公式——平均应力的影响
当平均应力不为0时，需考虑平均应 力和平均应变的影响，必须对曼森科芬公式进行修正：
2
' f
E
1
m ' f
(2N )b
' f
(2N
)c
2. 获得ε-N曲线的方法
常规试验法
多试样在应变控制下进行试验。优点：曲线准确可靠；缺点：费用高、耗时多。
曼森四点相关法（单调拉伸试验获得的四个点的数据确定）
多级法
用一个试样在低应力幅下循环达到稳定，然后逐级 增加应力幅值，得到一系列稳定的闭合回线。
增级法
试样所受的应力幅值先逐渐减小，再逐渐增大，构 成一个循环块，再继续做这种循环块的试验，直到 稳定。循环稳定时各迟滞回线端点的连线即为循环 应力-应变曲线。
循环应力-应变曲线表达式
循环应力-应变曲线可用单调应力-应变曲线相似的公式来表达：
一次拉伸试验得到a图中的OA段； 一次压缩试验得到a图中的OB段;
BOA称为单调应力-应变曲线，一 般只考虑OA段。
先加载到A点,然后卸载到O点，再加载到B 点，再加载到C点（与A重合）循环应力应 变曲线。
加载和卸载应力应变迹线ABC形成一个闭环。 （迟滞回线、迟滞环）
在循环载荷下得到的应力应变迹线叫应力应变迟滞回线。
迟滞回线方程：
1
2
2E
2K '
n'
(6 19)
单轴循环应力 应变曲线
1
E
K
'
n'
迟滞回线随循环数变化。由于材料的稳定循环阶段 占疲劳寿命的大部分，因此通常以稳定后迟滞回线 代表材料的迟滞回线。
5.材料的记忆特性
记忆特性：材料在循环加载下，当后级载荷 的绝对值大于前级载荷时，材料仍按照前级 迹线的变化规律继续变化。
2
名义应力法以名义应力为基本设计参数 对于低周疲劳，决定疲劳强度和寿命的是应变集中处的最大
局部应变和应力 局部应力应变分析法的出发点
疲劳破坏都是从应变集中部位的最大局部应变处首先起始； 在裂纹萌生以前，都要产生一定的塑性变形； 局部塑性变形是疲劳裂纹萌生和扩展的先决条件； 决定零件疲劳强度和寿命的，是应变集中处的最大局部应变。
b s 1.2时，为循环软化；
b s 1.2 ~ 1.4时，为可能硬化，也可能软化。
4.应力-应变迟滞回线
材料在循环载荷作用下得到的应力-应变迹线称为迟 滞回线。
大多数工程材料的稳定迟滞回线与循环应力-应变曲 线之间有着简单的近似关系，即迟滞回线与放大1 倍的单轴循环应力-应变曲线形状相似。
3.5 b
E
N 0.12
N 0.6 0.6 f
(6 24)
3. 虚拟应力-寿命(σa-N)曲线
兰格在M-C方程基础上，提出了对高、低周疲劳都适用的关系式：
2
N
E
4(
a
1
)
ln 1 1
(6 25)
式中，为试件的断面收缩率；
a
E
为虚拟应力幅。实际上反映不考虑载荷重新分配时的应变。 2
f
ln
A0 A
ln 1 1
(6 9)
式中，Pf 为断裂载荷；Af 为断裂时的截面积；
( A A0 ) A；
将
f
和
f
代替式（6
7）中的和
，可得：
p
f K ( f )n
或者
(6 10)
K
f f n
把式（6 11）代入（6 7），可得：
(6 11)
1
p
f
f
n
(6 12)
所以总应变为：Байду номын сангаас材料真应力 应变曲线表达式）
循环软化：与循环硬化相反，在应变幅εa为常数的情况下，应力幅sa随 着循环次数的增加而逐渐减少。
循环硬化与循环软化只是在开始时产生， 随着循环次数的增加，达到一定次数以 后，材料对变形的抗力趋于稳定。
大多数材料在达到疲劳寿命的一半时， 应力应变曲线达到稳定。
循环应力应变曲线
在应变比R=-1下，对不同的应变幅值，可得到 不同的稳定循环迟滞回线。
1
E
f
f
n
弹性应变 塑性应变
(6 13)
循环应力应变曲线
材料在循环加载下的应力应变响应称为循环应力-应变曲线.
低周疲劳中的应力-应变关系不能用单调应力-应变关系来表示,需要用循环 应力-应变关系来表达.
应力应变迟滞回线(滞后环)
迟滞回 线面积 代表塑 性变形 时外力 所做的 功或所 消耗的 能量。
在应变寿命曲线的弹性线上取两点：
P1点：N
1/ 4; e
2.5
f E
, 对应1/ 4次循环弹性分量；
P2点：N
105; e
0.9
b E
, 对应105次循环弹性分量；
连接P1P2点得到e N直线。
在应变寿命曲线的塑性线上取两点：
P3点：N 10; p f
3 4
4
, 对应10次循环塑性分量；
到达A点后，若继续升载，则按原来的变化规 律，仍按循环应力-应变曲线的变化继续变化 至E。
二. 应变-寿命（ε-N）曲线
1. 应变-寿命关系
曼森-科芬方程
一点的总应变=弹性应变+塑性应变 试验表明，在双对数坐标上，弹性应变、塑性应变与循环疲劳寿命的关系成
一直线，可表示为：
2
e
2
p
2
' f
缺点
主要解决低周循环疲劳问题，不能用于无限寿命计算。对有限寿命的高循 环段（105~106），计算结果没有名义应力法好。
该方法目前还不够完善，还不能考虑尺寸因素和表面状况的影响，用于高 周循环的误差较大。
该方法目前仅限于对单个零件进行分析。对于复杂的连接件，由于难以进 行精确的应力应变分析，目前还难以使用该方法。
为塑性应变。
p
3.材料的循环应力-应变曲线与单调应力-应变曲线的关系
45#钢（正火）(循环硬化)
40CrNiMo钢（调质）(循环软化)
判断材料为循环硬化和循环软化的方法：
（1）根据指数n进行判断
当 n 0.15时，为循环硬化；反之则为循环软化。
（2）根据强度极限
b与屈服极限
的比例判断
s
当 b s 1.4时，为循环硬化；