高一数学必修一函数专题：定义域
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2 所以：函数 f (x) 的定义域： x (, 1 ) 。
2
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例题二：已知：函数 f (x) log2 (x2 2x) 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据对数真数大于零得到： x2 2x 0 。 二次函数 y x2 2x 开口向下，判别式 22 4 (1) 0 4 0 。 与 x 轴交点：令 y 0 x2 2x 0 x(x 2) 0 x1 0 ， x2 2 。如下图所示：
2x24x 2 0 代表 x 轴下方的图像 x 1 x (,1) (1,) 。
第三种不等式：绝对值不等式
例题：解下列绝对值不等式。
（Ⅰ）| 2x 1| 3
（Ⅱ）| x2 2x | 3
例题二：已知：函数 f (x) (2x2 5x 2)0 。计算：函数 f (x) 的定义域。
解答：根据一个式子的零次方，这个式子不等于零得到： 2x2 5x 2 0 x 2 且 x 1 。 2
所以：函数 f (x) 的定义域： x (, 1 ) ( 1 ,2) (2,) 。 22
第二部分：不等式解法
第一种不等式：一元一次不等式
例题：解下列一元一次不等式。
（Ⅰ） 2x 1 0
（Ⅱ） 2 3x 0
解答：（Ⅰ） 2x 1 0 2x 1 x 1 。 2
（Ⅱ） 2 3x 0 3x 2 x 2 。 3
（Ⅲ） 1 x 3 x 3 (2) x 6 。 2
第二种不等式：一元二次不等式
（Ⅲ） 1 x 3 2
例题：解下列一元二次不等式。
（Ⅰ） x2 3x 0
（Ⅱ） x2 2x 3 0
（Ⅲ） 2x2 2x 1 0
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（Ⅳ） x2 3x 4 0 （Ⅴ） x2 2x 1 0
（Ⅵ） 2x24x 2 0
解答：（Ⅰ）二次函数 y x2 3x 开口向上，判别式 (3)2 4 1 0 9 0 。
x2 x 2 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x (,1] [2,) 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,1] [2,) 。
限制条件三：对数的真数大于零
例题一：已知：函数 f (x) ln(1 2x) 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据对数的真数大于零得到：1 2x 0 2x 1 x 1 。
高一数学必修一函数专题：定义域
第一部分：已知函数解析式，求定义域的限制条件
限制条件一：分母不等于零
例题一：已知：函数
f
(x)
3x 2 2x 1
。计算：函数
f
(x)
的定义域。
解答：根据分母不等于零得到： 2x 1 0 2x 1 x 1 。 2
所以：函数 f (x) 的定义域： x (, 1 ) ( 1 ,) 。 22
与 x 轴的交点：令 x2 3x 0 x(x 3) 0 x1 0 ， x2 3。如下图所示：
x2 3x 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x (,0] [3,) 。 （Ⅱ）二次函数 y x2 2x 3 开口向下， 22 4 (1) 3 4 12 16 0 。 与 x 轴的交点：令 x2 2x 3 0 x1 3 ， x2 1 。如下图所示：
例题二：已知：函数 f (x) x2 x 2 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据根号下大于等于零得到： x2 x 2 0 。 二次函数： y x2 x 2 开口向上，判别式： (1)2 4 1 (2) 1 8 9 0 。 与 x 轴的交点：令 y 0 x2 x 2 0 x1 1， x2 2 。如下图所示：
例题二：已知：函数
Байду номын сангаас
f
(x)
1 x 2x 1
。计算：函数
f
(x)
的定义域。
解答：根据分母不等于零得到： 2x 1 0 2x 1 ，1 20 2x 20 x 0 。
所以：函数 f (x) 的定义域： x (,0) (0,) 。
限制条件二：根号下大于等于零
例题一：已知：函数 f (x) 1 x 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据根号下大于等于零得到：1 x 0 x 1 x 1 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,1] 。
如下图所示：
x2 3x 4 0 代表 x 轴上方的图像 x 。
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（Ⅴ）二次函数 y x2 2x 1开口向上，判别式 (2)2 4 11 0 与 x 轴有一个交点。 与 x 轴的交点：令 y 0 x2 2x 1 0 x 1。如下图所示：
x2 2x 1 0 代表 x 轴下方和 x 轴上的图像 x 1 。 （Ⅵ）二次函数 y 2x24x 2 开口向下， 42 4 (2) (2) 16 16 0 与 x 轴只有一个交点。 令 y 0 2x2 4x 2 0 x 1。如下图所示：
x2 2x 0 代表 x 轴上方图像 x (0,2) 。
所以：函数 f (x) 的定义域： x (0,2) 。
限制条件四：一个式子的零次方，这个式子不等于零
例题一：已知：函数 f (x) (x 2)0 。计算：函数 f (x) 的定义域。
解答：根据一个式子的零次方，这个式子不等于零得到： x 2 0 x 2 x 2 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,2) (2,) 。
x2 2x 3 0 代表 x 轴下方的图像 x (,1) (3,) 。 （Ⅲ）二次函数 y 2x2 2x 1开口向上， (2)2 4 2 1 4 8 4 0 与 x 轴无交点。如下图所示：
2x2 2x 1 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x R 。 （Ⅳ）二次函数 y x2 3x 4 开口向下， 32 4 (1) (4) 9 16 7 0 与 x 轴无交点。
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例题二：已知：函数 f (x) log2 (x2 2x) 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据对数真数大于零得到： x2 2x 0 。 二次函数 y x2 2x 开口向下，判别式 22 4 (1) 0 4 0 。 与 x 轴交点：令 y 0 x2 2x 0 x(x 2) 0 x1 0 ， x2 2 。如下图所示：
2x24x 2 0 代表 x 轴下方的图像 x 1 x (,1) (1,) 。
第三种不等式：绝对值不等式
例题：解下列绝对值不等式。
（Ⅰ）| 2x 1| 3
（Ⅱ）| x2 2x | 3
例题二：已知：函数 f (x) (2x2 5x 2)0 。计算：函数 f (x) 的定义域。
解答：根据一个式子的零次方，这个式子不等于零得到： 2x2 5x 2 0 x 2 且 x 1 。 2
所以：函数 f (x) 的定义域： x (, 1 ) ( 1 ,2) (2,) 。 22
第二部分：不等式解法
第一种不等式：一元一次不等式
例题：解下列一元一次不等式。
（Ⅰ） 2x 1 0
（Ⅱ） 2 3x 0
解答：（Ⅰ） 2x 1 0 2x 1 x 1 。 2
（Ⅱ） 2 3x 0 3x 2 x 2 。 3
（Ⅲ） 1 x 3 x 3 (2) x 6 。 2
第二种不等式：一元二次不等式
（Ⅲ） 1 x 3 2
例题：解下列一元二次不等式。
（Ⅰ） x2 3x 0
（Ⅱ） x2 2x 3 0
（Ⅲ） 2x2 2x 1 0
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（Ⅳ） x2 3x 4 0 （Ⅴ） x2 2x 1 0
（Ⅵ） 2x24x 2 0
解答：（Ⅰ）二次函数 y x2 3x 开口向上，判别式 (3)2 4 1 0 9 0 。
x2 x 2 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x (,1] [2,) 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,1] [2,) 。
限制条件三：对数的真数大于零
例题一：已知：函数 f (x) ln(1 2x) 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据对数的真数大于零得到：1 2x 0 2x 1 x 1 。
高一数学必修一函数专题：定义域
第一部分：已知函数解析式，求定义域的限制条件
限制条件一：分母不等于零
例题一：已知：函数
f
(x)
3x 2 2x 1
。计算：函数
f
(x)
的定义域。
解答：根据分母不等于零得到： 2x 1 0 2x 1 x 1 。 2
所以：函数 f (x) 的定义域： x (, 1 ) ( 1 ,) 。 22
与 x 轴的交点：令 x2 3x 0 x(x 3) 0 x1 0 ， x2 3。如下图所示：
x2 3x 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x (,0] [3,) 。 （Ⅱ）二次函数 y x2 2x 3 开口向下， 22 4 (1) 3 4 12 16 0 。 与 x 轴的交点：令 x2 2x 3 0 x1 3 ， x2 1 。如下图所示：
例题二：已知：函数 f (x) x2 x 2 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据根号下大于等于零得到： x2 x 2 0 。 二次函数： y x2 x 2 开口向上，判别式： (1)2 4 1 (2) 1 8 9 0 。 与 x 轴的交点：令 y 0 x2 x 2 0 x1 1， x2 2 。如下图所示：
例题二：已知：函数
Байду номын сангаас
f
(x)
1 x 2x 1
。计算：函数
f
(x)
的定义域。
解答：根据分母不等于零得到： 2x 1 0 2x 1 ，1 20 2x 20 x 0 。
所以：函数 f (x) 的定义域： x (,0) (0,) 。
限制条件二：根号下大于等于零
例题一：已知：函数 f (x) 1 x 。计算：函数 f (x) 的定义域。 解答：根据根号下大于等于零得到：1 x 0 x 1 x 1 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,1] 。
如下图所示：
x2 3x 4 0 代表 x 轴上方的图像 x 。
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（Ⅴ）二次函数 y x2 2x 1开口向上，判别式 (2)2 4 11 0 与 x 轴有一个交点。 与 x 轴的交点：令 y 0 x2 2x 1 0 x 1。如下图所示：
x2 2x 1 0 代表 x 轴下方和 x 轴上的图像 x 1 。 （Ⅵ）二次函数 y 2x24x 2 开口向下， 42 4 (2) (2) 16 16 0 与 x 轴只有一个交点。 令 y 0 2x2 4x 2 0 x 1。如下图所示：
x2 2x 0 代表 x 轴上方图像 x (0,2) 。
所以：函数 f (x) 的定义域： x (0,2) 。
限制条件四：一个式子的零次方，这个式子不等于零
例题一：已知：函数 f (x) (x 2)0 。计算：函数 f (x) 的定义域。
解答：根据一个式子的零次方，这个式子不等于零得到： x 2 0 x 2 x 2 。 所以：函数 f (x) 的定义域： x (,2) (2,) 。
x2 2x 3 0 代表 x 轴下方的图像 x (,1) (3,) 。 （Ⅲ）二次函数 y 2x2 2x 1开口向上， (2)2 4 2 1 4 8 4 0 与 x 轴无交点。如下图所示：
2x2 2x 1 0 代表 x 轴上方和 x 轴上的图像 x R 。 （Ⅳ）二次函数 y x2 3x 4 开口向下， 32 4 (1) (4) 9 16 7 0 与 x 轴无交点。