第二章-稳态热传导

传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-2 导热问题的数学描述 温度场
导热微分方程
t f ( x, y, z, )
傅立叶定律
热流量
热流密度
导热微分方程的推导：傅立叶定律 + 能量守恒定律 导入导出微元体的净热流量＋ 微元体内热源生成热＝ 微元体内能的增量 导入热流量 导出热流量 内热源生成热
第一类 第二类 第三类 导热问题的数学描述＝ 导热微分方程+定解条件
稳态导热：给定边界条件即可。 非稳态导热：给定初始条件和边界条件。
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2-2 导热问题的数学描述 第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值。 稳态导热： 非稳态导热： 第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。 稳态导热： 非稳态导热： 特例：绝热边界
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2-3 典型一维稳态导热分析解 通过多层平壁的导热
热阻分析法
热流密度
q
t1 t n 1
t1
ri
i 1
n

t1 t n 1
i i 1 i
n
n为层数
t2
t3 t4
温度分布 第一层：
x
y
z
xdx
dxdydz
y dy
z dz
内能增量
t c dxdydz
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2-2 导热问题的数学描述 直角坐标系下三维非稳态导热微分方程：
内能的增量 （非稳态项） 导热微分方程的简化形式： 导热系数为常数
第二章
稳态热传导
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2-1 导热的基本定律 （基本概念） 温度场：某一时刻导热物体内各点温度分布的总称。 稳态温度场 温度场的表示方式 二维：等温线
t f ( x, y, z )
t f ( x, y, z, )
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2-2 导热问题的数学描述 圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程：
x r cos
y r sin
zz
x2 y2ຫໍສະໝຸດ tg y xr
r z x x r x x z
导入导出净热流量 （扩散项）
内热源 （源项）
导热系数为常数、且无内热源
熟练掌握
导热系数为常数、稳态（定常）
导热系数为常数、稳态（定常）、无内热源
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2-2 导热问题的数学描述 热扩散率（导温系数）：
a
c
[m2/s)]
也是物性参数，表征物体导热能力不储热能力的比值，即物体被加热或冷却 时，物体内部各部分间温度趋于一致的能力。 热扩散率 a 越大，说明物体一旦获得热量后，该热量即在物体中很快扩散。 稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ； 非稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ 和热扩散率 a。
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2-1 导热的基本定律 导热系数λ：单位温度梯度下物体内或物体间所产生的热流密度的模。 导热系数反映物体导热能力的大小。是物性参数，取决于物质的种类及热力状态。
q t n x
[W/(m· K)]
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2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程是描述温度分布的通用表达式，没有涉及具体、特定的导热过程。 定解条件：使得导热微分方程获得某一特定问题的解的附加条件。 初始条件 定解条件 边界条件
0
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z)
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2-3 典型一维稳态导热分析解 通过球壳的导热 一维，稳态，常物性，无内热源 球坐标系
1 t ( r 2 ) 0 r r 2 r
直接利用傅立叶定律求热流量：
A
dt dt 4r 2 dr dr
导热系数由实验确定。
金属
金属 非金属; 固相 液相 气相
20℃时，
纯铜 λ＝399 [W/(m· K)] 碳钢 λ＝35～40 [W/(m· K)] 水 λ＝0.599 [W/(m· K)] 导热系数随温 度的线性近似
非金属
液体
空气 λ＝0.0259 [W/(m· K)]
气体
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r z y y r y y z
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2-2 导热问题的数学描述 球坐标系下三维非稳态导热微分方程：
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2-3 典型一维稳态导热分析解 通过圆筒壁的导热 一维，稳态，常物性，无内热源 圆柱坐标系
温度分布 热流密度
t2 t1 t t1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
q dt t1 t2 dr r ln(r2 r1 ) W m2
对数曲线 不半径成反比
第二层： 第 i 层：
1 (t1 t2 ) t2 t1 q 1 1 1 q 2 (t2 t3 ) t3 t2 q 2 2 2
q q
i (ti ti 11) ti 1 ti q i i i
t1
t2
t3
t4
热阻分析法适用范围：一维、稳态、无内热源
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热阻串并联分析
Quiz: Figure out equivalent thermal circuit for a hollow brick. Assumption: Surfaces normal to x are isothermal, contact resistance between layers is negligible, radiation heat transfer is negligible.
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2-3 典型一维稳态导热分析解 通过多层圆筒壁的导热
热阻分析法

热流量
t1 t n 1 n ln(ri 1 / ri ) 2 l i 1 i
n为层数
温度分布
逐层求解 t2 t3 … tn
热阻分析法适用范围：一维、稳态、无内热源
2-1 导热的基本定律 （基本概念） 温度梯度：沿等温线（面）法线方向温度的增量不法向距离比值的极限。 温度梯度是矢量，方向垂直于等温线，且指向温度增加的方向。
t n n t t t grad t i j k x y z gradt t
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r2
r1
t2 dr dt t1 4r 2
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2-3 典型一维稳态导热分析解 二、三类边界条件下的一维导热 一维，稳态，常物性，无内热源 直角坐标系
左侧为第二类边界条件 右侧为第三类边界条件
t w const
qw const
t t qw 0 0 n w n w
第三类边界条件（Robin条件）：给定边界上物体不流体间的表面换热系数 h 和流体温度 tf 。 物体被加热或冷却均适用
n 为壁面外法线方向
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t n n
[W/m2]
热流密度是矢量，方向不温度梯度相反，即指向温度减小的方向。
直角坐标系
t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
q y y t x q z z t x
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2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程的适用范围：傅立叶导热过程。
丌适用的情况：非傅立叶导热过程
极短时间(如10-8～10-10s)产生极大的热流密度的热量传递现象， 如激光加工过程。 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。 微纳米尺度的导热问题。
傅立叶定律几点说明： 1. 温度梯度是引发物体内部及物体间热量传递的根本原因。 2. 热量传递的方向垂直于等温线，指向温度降低的方向。 3. 热量传递的大小（热流量、热流密度）取决于温度分布（温度梯度）。 4. 傅立叶导热基本定律普遍适用。 5. 传热学研究中通过导热微分方程得到温度分布后，即可由傅立叶定律求解热流 量或热流密度。
非稳态温度场
t 0 t 0
三维：等温面
等温线（面）的特点： 丌可能相交 完全封闭或仅在边界中断 沿等温线（面）无热量传递 疏密代表温度梯度的大小
等温线（面）
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Find: Equivalent thermal circuit Upside surface: adiabatic
L
2L
L
A/4
A/2
air
A/4 x
Downside surface: adiabatic
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求解导热问题的思路： 1. 分析物理问题，确定相关的简化假设条件； 2. 确定适用物理问题的导热微分方程和定解条件； 3. 求解微分方程得到温度场的分布； 4. 代入傅立叶定律求解热流量和热流密度。
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各向同性
q x x
t x
x y z
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2-1 导热的基本定律 热流线：温度场中热流密度矢量的切线构成的曲线，不等温线垂直。 相邻热流线间通过的热流量处处相等，构成热流通道。
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2-1 导热的基本定律 傅立叶定律：单位时间通过一定截面的导热量，正比于垂直于截面的温度梯度和截面面积。 热流量 热流密度
Agradt At A
t n n
[W]
q gradt t
2-3 典型一维稳态导热分析解 通过平壁的导热 一维，稳态，常物性，无内热源 直角坐标系
温度分布 热流密度
线性分布
q
t t dt t 1 2 dx
常数
应用热阻的概念：
r

q
t t r
导热系数λ如何取？
导热系数不温度成线性关系
(
t1 t 2 ) 2
热流量
Φ 2 rlq
t1 t 2 t t 1 2 W ln( r2 r1 ) R 常数，不半径无关 2 l

r2 t2 dr dt t1 2rl
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直接利用傅立叶定律求热流量：
A
dt dt 2rl dr dr
r1
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