不定积分概念及公式

5．1不定积分的概念

一． 原函数的概念

定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数)(x F 对于该区间上的每一点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=。则：)(x F 为)(x f 的一个原函数。

例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的一个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。。。。。。 即：,3,1,1333+-+x x x 。。。。。。等等也都是23x 的原函数。 即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。

所以，有下面定理。

定理：一个函数)(x f ，若有一个原函数)(x F ，则必有无穷多个。而这写原函数只相差一个常数。C x F +)(是)(x f 的全体原函数。 例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。

解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数 则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-，

所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos +

二． 不定积分的定义

定义2。设函数)(x F 为函数)(x f 的一个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。记

作：⎰dx x f )(。即：⎰dx x f )(C x F +=)(。

)(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，⎰：积分号，C ：积分常数。

存在原函数的函数为：可积函数。求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个C （任意常数）。

例：求积分dx x ⎰23

解：233)(x x ='

∴dx x ⎰23C x +=3

例：求积分⎰xdx cos

解： x x cos )(sin ='

∴ ⎰dx cos C x +=sin

例：求积分dx e x ⎰

解： x x e e =')(

∴ dx e x ⎰C e x +=

例：求积分dx x

⎰1 解： (x

x 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-∙-='-x x

x x dx x

⎰1C x +=ln 不定积分↔（互逆）求导数。

结论：( ⎰dx x f )()()x f ='或⎰=dx x f dx x f d )())((

⎰+='C x F dx x F )()(；或 ⎰+=C x F x dF )()(

即：先积后导，则两者互相抵消；反之，先导后积，则相差一个常数。

例：填空：填入适当的数或式子

1）=dx （ ）)23(x d -

解： ,2)23(dx x d -=- ∴

=dx （ 2

1- ）)23(x d - 2）=xdx sin （ ）x d c o s

解： xdx x d sin cos -=；∴ =xdx sin （ 1- ）x d cos 3）=dx x

1（ ）x d ln 解： dx x x d 1ln =；∴ =dx x

1（1 ）x d ln 例：若c x dx x f +=⎰arcsin )(，求：)(x f 。

解：由题可知)(x f 的原函数x x F arcsin )(=，

所以 211

)(arcsin ))(()(x x x F x f -='='=

练习：补：填空：填入适当的数或式子

1）d （ ）=xdx sin ；2）)2((......)

x d dx -=

3）)((.....)b ax d dx +=；4）x d dx x

ln (....)4= 5）x d dx x 1(.....)12=；6）x d dx x

( (1)

7）x x de dx e --=(....)；8）32(....)dx dx x =

答：1）x cos -+C ；2）1-；3）a

1)0(≠a ；4）4 5）1-；6）2；7）1-；8）3

1 三． 不定积分的几何意义

因为：⎰+=C x F dx x f )()(。中含有任意常数C ，所以，对于每一个确定的C ，都有一个确定的原函数，在几何上相应的就有一条确定的曲线，称为)(x f 的积分曲线。

C 的任意性。⎰+=C x F dx x f )()(。则表示)(x f 的一族积分曲线，它们在x 点有着共同的切线斜率)(x f 。

任何两条积分曲线的纵坐标

之间相差一个常数。所以，

积分曲线C x F y +=)(（族）中每

一条曲线都可以由曲线)(x F y =

沿y 轴方向上下平移而得到。如上图：

例：设曲线上任意一点的切线斜率为2x ，求：曲线方程。 解：设：所求曲线方程为y x F =)(，由题意2)(x x F ='。 所以 C x dx x x F +=

=⎰323

1)( 即：所求的是一族曲线C x y +=331（C 为任意常数） 5．2不定积分的性质与基本积分公式

一． 不定积分的运算性质

性质1。⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。（0≠k 常数）

性质2。⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

可推广到有限个函数的代数和：

±±⎰)()(21x f x f dx x f n )](±

=dx x f dx x f dx x f n )()()(21⎰⎰⎰±±±

二． 积分基本公式（书106105-P ）

1）⎰=C dx 0；2）),1(1

11R C x dx x ∈-≠++=

+⎰ααααα 3）C x dx x +=⎰ln 1；4）C a a dx a x x +=⎰ln 1 5）C e dx e x x +=⎰；6）⎰+-=C x xdx cos sin

7）⎰+=C x xdx sin cos

例：求 dx x ⎰52

解：dx x ⎰52=dx x ⎰52C x ++∙=+1521

5 C x +=

63

1 例：求 dx x

⎰21 解：dx x

⎰21=C x dx x ++-=+--⎰122121 C x +-=1 例：求 dx x )53

(-⎰