高中数学 2.2.2.1 椭圆的几何性质 苏教版选修1-1

一、填空题（每题4分，共24分）
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1.（2010·厦门模拟）椭圆 x 2 + y 2 = 1 的离心率是____.
【解析】由 x 2 + y得2 = 1
49
49
a=3,b=2,
∴ c=a2-b2=9-4=5.
∴ e= c = 5 .
a3
c
2xc22上+ ，yc 22 ∴= 1
c2 2c2
+
32 c4
=1,
∴c2=8,∴a2=16,b2=8.
∴椭圆的标准方程为 x 2 + y 2 = 1 .
16 8
3
5-25）, 或（
3
（ 5 -52,）.
3
2） 5或5 ,
3
9.(10分）已知F1，F2是
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点，
A是椭圆上第一象限内的点，点B也在椭圆上，且 OA+OB=0,
AF2 F1F2=0, 椭圆离心率e=
2 2
, S△ABF2=4
2 , 求椭圆的标准
方程.
答案： 5
3
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12,
离心率为 1 , 则椭圆的方程是____.
3
【解析】由题意：2a=12,∴a=6,又e = c = ∴1 c, =2,
a3
∴b2=a2-c2=36-4=32，∴椭圆方程为x 2 + y 2 = 1 .
36 32
答案：x 2 + y 2 = 1
【解析】∵ e = c =∴a2=,
a2
c,∴b2=c,
∴椭圆方程为
x2 2c2
+
y2 c2
=1.
∵ AF2 F1∴F2A=F0,2⊥F1F2,
∴设A（c,y0).
∵ OA+O ∴BA=B0,过椭圆中心O.
∴S△ABF2=2S△AOF2=c·y0=42 , ∴ y 0 = 4 c 2 .
∵A(c, 4 )在2 椭圆
36 32
3.已知点P（3，4）在椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
上，则以P为顶点的
椭圆的内接矩形PABC的面积是____.
【解题提示】利用椭圆的对称性解答本题.
【解析】由椭圆的对称性可知内接矩形PABC的边长为8和
6，则S=8×6=48.
答案：48
4.(2010·诸暨高二检测）已知椭圆
x2 a2
【解析】c=2，AC=AB2+BC2=5,
∴2a=8,a=4, ∴ e= c = 1 .
a2
答案：1
2
6.已知椭圆C1:
x2 m
+
y2 2
=1
与C2:
x2 + y2 =1 63
有相同的离心率，
则椭圆C1的方程是____.
【解析】 答案：
二、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·三明高二检测）已知椭圆
+
y2 b2
=1
(a>b>0)有两个
顶点在直线x+2y=2上，则此椭圆的焦点坐标是____.
【解析】直线x+2y=2与x,y轴交点分别是(2,0),(0,1)，
则a=2,b=1，∴c2=a2-b2=4-1=3,∴c3=, 又焦点在x轴上， 故焦点坐标为(± 03 ,). 答案：(± 30, )
5.已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则 以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆 的离心率为____.
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0)的
离心率 e = 6 . 过A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 3 ,
3
2
求椭圆方程.
【解析】e=c= a2-b∴2 = 6,
aa 3
∴a2=3b2即a= 3 b.
a
2 -b 2 a2
=
2 3
,
过A(0,-b),B(a,0)的直线为 x - y = 1 .
【解析】设点P的坐标为（x,y).
由椭圆 x 2 + y 2 = 1 ,
25 9
可知：c=4,
∴F1F2=2c=8,∴S△PF1F2=
1 2
·F1F2·|y|=8,
∴|y|=2,即y=±2,又点P在椭圆上，
∴
x2 4 + =1,
25 9
解得:x=± 5 5 ,
3
∴点P坐标为（ 5 25 ）, 或（
ab
把a= 3 b代入，即x- y3 - b=3 0
又由点到直线的距离公式得
|- 3b|
3
=,
1+(- 3)2 2
解得:b=1,∴a= 3
∴所求方程为 x 2 + y 2 = 1 .
3
8.点P是椭圆 x 2 + y 2 = 1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三
25 9
角形的面积为8，求点P的坐标.