第三章线性系统的可控性与可观性

( f1, f1) ( f1, fn) G ( fn, f1) ( fn, fn)
f , f ) ff 式中元素 ( i j
T i j
i , j 1 , 2 , , n
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
利用格兰姆行列式det∣FTF∣或格兰姆矩阵FTF 能表示出给定矩阵F的列向量是否相关的条件。 设非齐次线性方程组Fx=y ，据解的存在定理，当 rankF=rank[F｜y] 时，有解：当y任意时，使x有 ) y ，即 解的充要条件是rankF=n。由于 (Fx T xTF yT ，于是有：
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
3.6 可控性与可观测性的对偶原理
线性系统的可控性与可观测性不是两个相互独 立的概念，它们之间存在着一种内在的联系。 能控性和能观性，无论在概念上还是在判据的 形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔 曼提出的对偶原理确定的。
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性Fra Baidu bibliotek
3.5 时变系统的可控性与可观测性
时变系统动态方程中的的元素均为时间函数， 定常系统中关于由常数矩阵 构成的可控性、可 观测性判据不适用了，这里首先遇到如何定义 时变列向量的线性无关性问题。
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
一. 格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用 给定（m×n）矩阵F且表示成列向量组：
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若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
T T T A A , B C , C B 2 1 2 1 2 1
式中
x 1, u1 , y1 , A 1, B 1, C 1,
x2 u2 y2 A 2 B 2 C 2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； n —— n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
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式中元素 当G正定或非奇异时，表示 F(t)的n个列向无关。 t 同理可由
T F ( t ) F (t)dt 正定或非奇异来确定 t0
f
正定或非奇异来确定F(t)的m个量线性行向量线 性无关
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二. 线性时变系统的可控性
f f 1 1 1 n f F , , f 1 n f f m 1 m n
其转置矩阵
T f f f 11 m 1 1 T F f T f f mn 1n n
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x 1, u1 , y1 , A 1, B 1, C 1,
x2 u2 y2 A 2 B 2 C 2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； n —— n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
T T
T T T x F Fx y y
T y 其中 y 乃是m个平方项之和，恒大于零，故
T x Gx 0
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T x 上式表示出 Gx 为正定二次型函数，G为正定 G 0 ，于是矩阵F 矩阵。已知正定矩阵存在det
的n个列向量线性无关的充要条件可表示为：
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一. 线性定常系统的对偶关系 设两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) S1(A1 B1 CI)
1 A x 1x 1 B 1u 1 y 1 c 1x 1
2 A x 2x 2 B 2u 2 y2 c2x 2
S2(A2 B2 C2)
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
３.１ 可控性的概念 ３.２ 线性定常系统的可控性判据 ３.３ 线性定常系统的可观测性 ３.４ 离散系统的可控性与可观测性 ３.５ 时变系统的可控性与可观测性 ３.６系统的可控性与可观测性的对偶原理 ３.７可控规范型和可观测规范型 ３.8 线性系统的结构分解 ３.9 传递函数矩阵的实现 ３.10 传递函数中零极点对消与可控性与可观 测性的关系
格兰姆阵 F T F 是正定的， T F F 0 或格兰姆行列式不为零 det ， 或格兰姆阵是非奇异的。
T 同理，可根据 GFF 的正定或非奇异来确定F的 m个行向量无关。
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
在时变系统情况下，F(t)各元素均为时间函数， 如果在某时刻系统可控，在另一时刻则可能是 不可控的。因此，想判断[t0,tf] 时间间隔内诸时 变列向量的线性无关性，应考虑在[t0,tf]区间内 由如下积分所构成的格兰姆阵是否正定或非奇 异来确定：
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三. 线性时变系统的可观测性
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m n
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则格兰姆阵G定义为： T T T f f f 1 f 1 1 f n 1 T f G FF , f 1 n T T T f f f n n f n n f n G为n×n维矩阵，且记为：