三角级数与三角函数系的正交性

傅里叶级数

三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数

正弦级数与余弦级数

三角级数及三角函数系的正交性

1. 三角级数

周期运动是自然界中广泛存在的一种运动形态,

例如描述简谐 对周期运动可用周期函数来近似描述.

)sin(ϕω+=t A y 就是一个以2πω为周

振动的函数 期的正弦函数.

例如周期为T 的矩形波：

值得注意的是:

并非所有的周期过程都能用简单的正弦函数来表示. 2T

x

u O E

2T

想法： 将周期函数展开成由简单的周期函数(例如三角

函数)组成的级数.

即: 若()f t 是周期为2πT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭的周期函数,则 sin()n n A n t ωϕ+

01

()n f t A ∞

==+∑ 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数.

将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+变形成为

sin()n n A n t ωϕ+sin cos cos sin n n n n A n t A n t ϕωϕω=+, 令00,sin ,cos ,2n n n n n n a A a A b A t x ϕϕω====， 则级数01

sin()n n n A A n t ωϕ∞

=++∑就可以改写为

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 三角级数

2. 三角函数系的正交性

三角函数系

1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,x x x x nx nx 在区间[]π,π-上是正交函数系, 即

π

-πcos d 0 (1,2,3,)nx x n ==⎰,

π-π

sin cos d 0 (,1,2,3,)kx nx x k n ==⎰, π-π

cos cos d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰

, π-π

sin sin d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰. π-πsin d 0(1,2,3,)nx x n ==⎰

,

0(,1,2,3,,)k n k n ==≠. 例如当k n ≠时,有

π

πππ1cos cos d [cos ()cos ()]d 2kx nx x k n x k n x x --=++-⎰⎰ π

π1sin ()sin ()2k n x k n x k n k n -+-⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦

在三角函数系中, 两个相同函数的乘积在区间[]π,π- 上的积分不等于零, 且有 π2π

1d 2πx -=⎰

, π2πsin d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =,

π2πcos d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =.