第六章 线性空间同步复习

第六章 线性空间

一、内容提要

§6.1 线性空间与简单性质

1． 定义

设V 是一个非空集合，K 是一个数域。在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域K 和

V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对K 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，

在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝。如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域K 上的一个线性空间。

（1） 加法交换律：αββα＋＝+；

（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；

（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；

（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k K ； （7） ()∈+l k l k l k ,,βαα＋＝K ； （8） ()()ααkl l k ＝，

其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域K 中任意数。V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α-。

2． 简单性质。

性质1 零向量是唯一的。 性质2 负向量是唯一的。

性质3 对V 中任意向量γβα,,，有

（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；

（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα-=-)1(；

（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α。

§6.2 基与维数

1．定义

（1）基与维数

设V 是数域K 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21 满足 （1）n εεε,,,21 线性无关；

（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21 线性表示，

则称n εεε,,,21 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域K 上的n 维线性空间。

（2）坐标

设n εεε,,,21 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21 ，使得

n n x x x εεεα+++= 2211，

我们称n x x x ,,,21 为向量α在基n εεε,,,21 下的坐标，记作()T

n x x x ,,,21 。

（3）同构

设U V ,都是数域K 上的线性空间，如果存在一个从V 到U 的一一对应σ：U V →，使得对任意的向量V ∈βα,以及数K ∈k ，均有

()()()()()ασασβσασβασk k =+=+,，

则称线性空间V 与U 同构，记为U V ≅。

2．推论

（1）n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关。

（2）n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基。 3．定理

（1）数域K 上任一n 维线性空间都与n K 同构。

（2）数域K 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

§6.3 基变换和坐标变换

1．过渡矩阵

设n εεε,,,21 和n ηηη,,,21 是数域K 上n 维线性空间V 的两组基，它们之间的关系为

n

nn n n n n

n n

n a a a a a a a a a εεηηεεεηεεεη+++=+++=+++=

22112222112212211111，

我们称表示矩阵

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A

2

1

22221

11211

为由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵。

2．坐标变换公式

设

V

∈α在基

n εεε,,,21 和n

ηηη,,,21 下的坐标分别为

()T n x x x ,,,21 ()T n y y y ,,,21 ，则有

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n

x x x 21

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛n y y y P 21。

§6.4 线性子空间

1．定义

（1）子空间

设V 是数域K 上的线性空间，W 是V 的一个非空子集。如果对于V 上的加法和数乘运算，W 也构成数域K 上的线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间（简称子空间）。

（2）生成的子空间

设S 是线性空间V 的子集，记()S L 为这组向量所有可能的线性组合构成的子集，不难看出这个子集关于向量的加法和数乘运算封闭，因此它是V 的一个子空间，称之为由S 生

成的子空间。

2．子空间封闭性

如果线性空间V 的非空子集W 关于V 的两种运算封闭，则W 就成为V 的一个子空间。

3．有关生成子空间的性质

（1） 设1S 和2S 是线性空间V 的两组向量组，则()⊆1S L ()2S L 当且仅当1S 可由2S 线性表示.

（2）()=1S L ()2S L 当且仅当向量组1S 和2S 等价。

（3）设S 是线性空间V 的子集，()S L 为由S 生成的子空间，则

a ）()S L 是V 中包含S 的最小子空间，即若W 是包含子集S 的子空间，则

()W S L ⊆。

b ）S 的极大无关组是子空间()S L 的一组基，()S r S L =)(dim 。

4．子空间的交与和

（1） s 个子空间的交：

s

i i

s V

V V V 1

21==

⋂⋂⋂

也是V 的子空间。

（2）s 个子空间的和：

},,2,1,|{2121s i V V V V i i s s =∈+++=+++αααα

也是V 的子空间。

5．直和的定义

设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，如果和s V V V +++ 21中的每个分解式

),,2,1(,21s i V i i s =∈+++=ααααα

是唯一的，这个和就称为直和，记为s V V V ⊕⊕⊕ 21。

6．直和的判定定理

设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价: （1）s V V V +++ 21是直和；