函数与方程思想的高考真题讲解

2．(2019·长春模拟)已知 f(x)＝log2x，x∈[2，16]，对于函数 f(x)值
域内的任意实数 m，则使 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立的实数 x 的取值范
围为( D )
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
大二轮复习 数学（文）
解析：设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q. 由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12. 而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0. 又因为 q>0，解得 q＝2，所以 bn＝2n. 由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8.① 由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16.② 联立①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2，数列{bn} 的通项公式为 bn ＝2n. 答案：an＝3n－2 bn＝2n
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由正弦定理得ac＝sin2s3πin－A∠A
＝
3 2 cos
A＋12sin
sin A
A＝12＋
23·tan1
A.
∵0<tan A< 33，∴tan1 A> 3.
∴ac>12＋ 23× 3＝2，即ac>2. π
答案： 3 (2，＋∞)
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应用(二) 转换“函数关系”，利用函数思想解决问题 (2019·长沙模拟)已知函数 f(x)＝lg1＋a22－x＋a＋4x·1 a，其中 a
为常数，若当 x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，则实数 a 的取值范围为 ________．
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ຫໍສະໝຸດ Baidu在给定区间上恒成立问题：
例4、设函数f(x)＝ mx2 mx 1,若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则实
数m的取值范围是________．
例5、对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2 (m 4)x 4 2m的值恒大于零，求实数x 的取值范围．
高考热点 分层突破
函数与方程思想
数学
大二轮复习 数学（文）
函数思想
方程思想
方程思想就是建立方程或方程 函数思想是通过建立函数关系
组，或者构造方程，通过解方 或构造函数，运用函数的图象
程或方程组或者运用方程的性 和性质去分析问题、转化问题，
质去分析、转化问题，使问题 从而使问题得到解决的思想
得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相
成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在
动中求静，研究运动中的等量关系
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应用(一) 借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题 (2019·烟台模拟)已知数列{an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，
则ann的最小值为________．
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应用(四) 构造“方程形式”，利用方程思想解决问题 (2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1，1)和抛物线 C：y2＝4x，
过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°， 则 k＝________．
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分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数 的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想 解决非方程问题的极富创造力的一个方面．
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在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题 中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方 法使问题顺利获解．
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1．(2018·北京卷)若△ABC 的面积为 43(a2＋c2－b2)，且∠C 为钝角， 则∠B＝________；ac的取值范围是________．
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数 问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些 函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思 想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充 分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
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发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制 约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质 创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现，本题主客换位后， 利用新建函数 y＝－41x＋21x的单调性巧妙地求出实数 a 的取值范围．此 法也叫主元法．
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3．设 0<a<1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea－1 的大小关系为
( B) A．ea－1<a<ae
B．ae<a<ea－1
C．ae<ea－1<a
D．a<ea－1<ae
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解析：选 B.设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0， ∴ex－1>x，即 ea－1>a. 又 y＝ax(0<a<1)在 R 上是减函数，得 a>ae， 从而 ea－1>a>ae.故选 B.
解析：选 D.因为 x∈[2，16]，所以 f(x)＝log2x∈[1，4]， 即 m∈[1，4]．不等式 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立， 即 m(x－2)＋(x－2)2>0 恒成立． 设 g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2， 则此函数在[1，4]上恒大于 0， 所以gg（ （14） ）>>00， ，即x4－（2x＋－（2）x－＋2（）x2－>02，）2>0， 解得 x<－2 或 x>2.
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应用(三) 构造“函数关系”，利用函数思想解决问题 (2019·山西三区八校二模)定义在 R 上的奇函数 f(x)的导
函数满足 f′(x)<f(x)，且 f(x)·f(x＋3)＝－1，若 f(2 021)＝－e，则不等式 f(x)<ex 的解集为________．
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解析：由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2，
∴a2＋c2－b2＝2accos
B．
又∵S＝ 43(a2＋c2－b2)，
∴12acsin B＝ 43×2accos B，∴tan B＝ 3， ∵B∈0，π2 ，∴∠B＝π3 . 又∵∠C 为钝角，∴∠C＝2π 3 －∠A>π2 ，∴0<∠A<π6 .
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4．(2019·兰州模拟)已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)， {bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1， S11＝11b4，则{an}的通项公式为________，{bn}的通项公式为________．
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