空间中的平行关系 PPT课件

求证：PQ∥平面BCE.
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【思路点拨】
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【证明】 法一：如图所 示，作PM∥AB交BE于M，作 QN∥AB交BC于N，连结MN、 PQ.
正方形ABCD和正方形 ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB. 又∵PM∥AB∥QN，
∴PM＝PE，QN＝QB， AB AE DC BD
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：转化为判定 一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面．客观题中，也可 直接利用一个平面内的两条相交线 分别平行于另一个平面内的两条相 交线来证明两平面平行．
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α∥β
(3)利用面面平行的传递性：
γ∥β
⇒α∥γ.
(4)利用线面垂直的性质：
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【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
法三是利用面面平行的性质，即 若平面α∥β，l⊂α，则l∥β.
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考点二 平面与平面平行的判定
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∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
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∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
∴BM·ME＝CF·AD·hh′(1－hh′).
6分
又 S△BEM＝12BM·MEsin∠BME.据题意
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知，AD 与 CF 异面，AD、CF 是常量，只是
平面 β 在 α，γ 之间平移，AD、CF 所成的角也是
定值，∴sin∠BME 是常量，令hh′＝x，只要考查
函数 y＝x(1－x)的最值即可.
∴AP∥GH.
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【名师点评】 利用线面平行的性 质定理证明线线平行，关键是找出过已 知直线的平面与已知平面的交线．
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考点四 平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定与性质， 同直线与平面平行的判定与性质一 样，体现了转化与化归的思想．三 种平行关系如图．
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性质过程的转化实施，关键是作 辅助平面，通过作辅助平面得到交线， 就可把面面平行化为线面平行并进而 化为线线平行，注意作平面时要有确 定平面的依据．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
三基能力强化
①ab∥∥cc ⇒a∥b ③αβ∥∥cc ⇒α∥β ⑤αa∥∥cc ⇒a∥α
②ab∥∥γγ ⇒a∥b ④αβ∥∥γγ ⇒α∥β ⑥aα∥∥γγ ⇒a∥α
三基能力强化
其中正确的命题是( ) A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①④⑤⑥ 答案：C
三基能力强化
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置 关系为__________．
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∴PM綊QN， 即四边形PMNQ为平行四边形，
又MN⊂平面BCE， PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE.
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法二：如图所示，连结AQ，并延
长交BC于K，连结EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，
∴APEP＝DBQQ.
①
又∵AD∥BK，
∴DBQQ＝AQQK.
②
由①②得APEP＝AQQK，
三基能力强化
2．已知直线a、b和平面α、β，则 在下列命题中，真命题为( )
A．若a∥β，α∥β，则a∥α B．若α∥β，a⊂α，则a∥β C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b 答案：B
三基能力强化
3．(教材习题改编)a，b，c为三 条不重合的直线，α，β，γ为三个不重 合的平面，现给出六个命题：
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【解】 (1)平面α∥平面β，平面α与 β没有公共点，但不一定总有AD∥BE.
同理不总有BE∥CF， ∴不一定有AD∥BE∥CF 4分 (2)过A点作DF的平行线，交β，γ于 G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH， DF的平面交平面α，β，γ于AD，GE， HF. 根据两平面平行的性质定理，有 AD∥GE∥HF， 6分
答案：平行 5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条 棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平 行的直线共有__________条．
答案：6
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
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考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
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AAGD∥∥DGEE⇒AGED 为平行四边形， ∴AG＝DE，同理GH＝EF. 又过AC，AH两相交直线的平面 与平面β，γ的交线为BG，CH.9分 根据两平面平行的性质定理，有 BG∥CH，
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在△ACH 中，ABBC＝GAHG， 而 AG＝DE，GH＝EF，
∴AB＝DE， BC EF
基础知识梳理
1．直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 平面外一条直线与 此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行． (2)性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线 ．
基础知识梳理
2．平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 一个平面内的两条相交直线 与另 一个平面平行，则这两个平面平行． (2)性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线平行 ．
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【思路点拨】 要证AP∥GH， 只需证PA∥面BDM.
【证明】 如图，连结AC，设 AC交BD于O，连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点．
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又∵M是PC的中点， ∴MO∥PA.
又∵MO⊂平面BDM， PA⊄平面BDM，∴PA∥平面 BDM.
又经过PA与点G的平面交 平面BDM于GH，
基础知识梳理
能否由线线平行得到面面平 行？
【思考·提示】 可以．只 要一个平面内的两条相交直线分 别平行于另一个平面内的两条相 交直线，这两个平面就平行．
三基能力强化
1．两条直线a、b满足a∥b，b⊂α， 则a与平面α的关系是( )
A．a∥α B．a与α相交 C．a与α不相交 D．a⊂α 答案：C
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考点三 直线与平面平行的性质
利用线面平行的性质，可以实 现由线面平行到线线平行的转 化．在平时的解题过程中，若遇到 线面平行这一条件，就需在图中找 (或作)过已知直线与已知平面相交的 平面．这样就可以由性质定理实现 平行转化．
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例3 如图，已知四边形ABCD是平行
四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过 G和AP作平面交平面BDM于GH.求证： AP∥GH.
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【证明】 △ABC中，E、F分别为 AB、AC的中点，
∴EF∥BC. 又∵EF⊄平面BCGH，BCHale Waihona Puke Baidu平面 BCGH， ∴EF∥平面BCGH. 又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，
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∴四边形A1FCG为平行四边形． ∴A1F∥GC. 又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面 BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F， ∴平面A1EF∥平面BCGH.
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例4 (解题示范)(本题满分12分) 如图，直线AC、DF被三个平行
平面α、β、γ所截． (1)是否一定有AD∥BE∥CF? (2)若＝λ，＝μ，试判断λ与μ的大
小关系．
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【思路点拨】 本题是开放性题目， 是近年来高考热点，利用面面平行的性 质证明BG∥CH，从而可得λ=μ.
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(3)利用面面平行的性质定理：当 两平面平行时，其中一个平面内的任 一直线平行于另一平面．
特别提醒：线面平行关系没有传 递性，即平行线中的一条平行于一平 面，另一条不一定平行于该平面．
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例1 正方形ABCD与正方形ABEF所在
平面相交于AB，在AE、BD上各有一 点P、Q，且AP＝DQ.
α⊥l β⊥l
⇒α∥β.
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例2 如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别 是AB、AC、A1C1、A1B1的中点， 求证：平面A1EF∥平面BCGH.
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【思路点拨】 本题证面面平行， 可证明平面A1EF内的两条相交直线分 别与平面BCGH平行，然后根据面面 平行的判定定理即可证明．
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课时活页训练
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9分
显然当 x＝12时，即 1－x＝x＝12时，y＝x(1－ x)有最大值．
故当h′＝1时，即平面 h2
β
在
α，γ
两平面的正
中间时，△BEM 的面积最大.
12 分
规律方法总结
1．对线面平行，面面平行的认 识一般按照“定义——判定定理——性 质定理——应用”的顺序．其中定义 中的条件和结论是相互充要的，它既 可以作为判定线面平行和面面平行的 方法，又可以作为线面平行和面面平 行的性质来应用．
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解：(1)证明：如图，连结 BM、EM、BE.
∵β∥γ，平面ACF∩β＝BM， 平面ACF∩γ＝CF，
∴BM∥CF，∴ABBC＝AMMF .
同理AM＝DE ， MF EF
∴AB＝DE BC EF
.
4分
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(2)由(1)知 BM∥CF，∴BCMF ＝AABC＝hh′，同
理ME＝h－h′， AD h
∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴E是A1C的中点，连结ED，
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∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩ 平面AC1D=ED，∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点， ∴D是BC的中点， 又∵D1是B1C1的中点， ∴BD1∥C1D，A1D1∥AD， 又A1D1∩BD1=D1，∴平面 A1BD1∥平面AC1D.
即 λ＝μ.
12 分
【误区警示】 (1)小题易出错， 其原因是把AC、DF习惯地认为是相 交直线．
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高考检阅
(本题满分12分)如图，已知平面 α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之 间，点A、D∈α，C、F∈γ， AC∩β=B，DF∩β=E.
(1)求证：ABBC＝DEFE；
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(2)设 AF 交 β 于 M，AD 与 CF 不平行，α 与 β 间的距 离为 h′，α 与 γ 之间的距离 为 h，当hh′的值是多少时， △BEM 的面积最大？
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【名师点评】 利用面面平行的 判定定理证明两个平面平行是常用的 方法，即若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β， a∩b＝O，则α∥β.
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互动探究 在本例中，若D是BC上
一点，且A1B∥平面AC1D， D1是B1C1的中点，
求证：平面A1BD1∥平 面AC1D.
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证明：如图所示，连结A1C交AC1 于点E，