《空间向量的数量积运算》课件

(1) AB AC; (2) AD BD; (3)GF AC ; (4) EF BC.
A
F
E D
B
C
G
练习2 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对 角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
A
B
| AC | 85
42 32 52 2(0 10 7.5) 85
练习4 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA， OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN． 证明：
练习5 如图，在正三棱柱 ABC A 中，若 AB 2BB1 ， 1B 1C1 则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为（ ）
及ab 0¿ a 0或b 0
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)· (2n-b)；(2)|4a一2b|．
练习1
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都 等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求 下列向量的数量积：
练习3
ABCD A B C D
AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
AC
D' C'
A'
B'
D
C
解： AC AB AD AA 2 2 | AC | ( AB AD AA) 2 2 2 | AB | | AD | | AA | 2( ABAD ABAA ADAA )
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
A.
60
0
B.
90
0
C. 105
0
D.
75
0
6.如图，在空间四边形 ABCD 中， AB 2 ，BC 3 ， ABC 60 ，求 BD 2 3 ，CD 3 ， ABD 30 ， AB 与CD 的夹角的余弦值
王
新 奎
新
疆
屯
敞
解：∵ CD BD BC ，
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b· c)吗?
数量积不满足结合律即 （ 注意： a b) c a (b c) 另外 a b Baidu Nhomakorabea a c ¿ b c
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
AB CD 3 1， ∴ cos AB, CD 2 | AB | | CD | 2 3
1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 ． 2
∴ AB CD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD | AB | | BC | cos AB, BC
类比平面向量 , 你能说 出 a b 的几何意义吗? 如 图 A1 B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
不一定为锐角
不一定为钝角
三、空间两个向量的数量积的性质
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是 用来求两个向量的夹角． (3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．
空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
b
B