第8章 交通量分配(四)

现在道路规划部门计划提高该地区道路的服务 水平(减少总行驶时间)，计划新建一条道路（路 段５） 。假设路段３、路段５和路段２形成径路 ３，这时，使用用户均衡分配法求出的径路交通 量和行驶时间分别为：
h1 = 200 , h2 = 200 , h3 = 200 （辆）
c1 = 92, c 2 = 92, c3 = 92 （分）
与 Wardrop 均衡分配的等价最优化问题一致。相反，
θ → 0 时，与费用项相比，代表熵的项目大。这时，
与径路的费用无关，各条径路将以相同的概率获得分 配交通量。
(2)最大熵模型
max Z =
rs ∈ k ∈ K
∑∑
t rs H
rs
(h
rs
)
s.t.
∑∫
a∈ A
xa
0
c a ( w ) dw ≤ E
rs k
hkrs = t rs
k∈K
exp( θc krs ) ∑ exp(θckrs )
3.随机用户均衡分配的等价最优化问题解法 由上述可知，随机用户均衡问题为非线性规划问 题，直接求解困难。与用户均衡问题相同，通过求解 其等价最优化问题计算均衡交通量，并且求解方法因 模型的性质不同而异。其方法有： 1 （1）逐次平均法； （3）Simplicial decomposition 法 （2）部分线性化法； 等。 具体的分配算法有 Dail 法、 马尔科夫链法 （Markov chain assignment）和 Monte Carlo simulation。以下介 绍逐次平均法，其余方法参阅有关材料。
h1 = 300 , h2 = 300 （辆）
径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的旅行时间：
c1 = 83, c 2 = 83 （分）
目标函数值： ，系统最优分配法 用户均衡分配法 Z ue = 399 （辆分）
Z so = 498
２ 1 ２ ５ 3 ３ ４
1
４
t 5 ( x5 ) = 10 + 0.01x5
试用 F-W 算法求均衡分配法和系统最优分配 法的分配结果，并对结果进行讨论。
径路2 o 径路1 径路3
D
第 7 节 随机用户均衡分配(Stochastic User Equilibrium Assignment) 在用户均衡分配中，假设了所有的用户都完全掌 握路网上的全部信息，并选择最短径路从出发地到目 的地。然而，这种假设在实际的用户径路选择行动过 程中难以实现。 这里，从用户对路网的交通信息的认识角度出 发，应用效用理论假设用户对路网交通信息的遵照随 机效用理论，即研究交通信息的不确定条件下的径路 选择和路网的交通均衡问题。
1.随机用户均衡分配及其模型化 与用户均衡问题相同，这里仍假设径路的交通费 用与其交通量成正比（flow independent） ，并且假设 在用户对径路交通费用的认识中存在随机误差。对图 示简单路网，可观测费用为： ci = ci (hi ), (i = 1,2) 另外，对观测费用，考虑用户的认识误差后，有：
径路选择概率守恒条件：
Pkrs = 1 ∑
k
， rs ∈
E (hkrs ) = t rs ∑
径 路 交 通 量－ ＯＤ 交 通 量守 恒 原 则： k∈K
,
rs ∈
径 路 交 通 量 － 路 段 交 通 量 守 恒 原 则 ：
E ( xij ) =
rs∈ k∈K
∑ ∑ E (h
rs k
) δ arsk ， a ∈ ,
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue = 386 （辆分） ，系统最优分配 法 Z so = 552 （辆分）
用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386 399 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分， 之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
k '∈ K rs k'
t
rs rs = Pr . c k + ξ krs ≥ max ck ' + ξ krs ' ' k ≠K
[
]t
rs rs = Pr .c k ξ krs ≤ max c k ' ξ krs ' ' k ≠K
[
]t
E (hkrs ) = t rs Pkrs 径路 k 交通量的期望值：
ci = ci ( hi ) + ξ i , (i = 1,2) ，各个用户在该费用前提下进行
径路选择，其结果决定路网交通量。
假设用户的交通选择行为可以用随机效用理论表现，那么 径路 i 被选择的概率： Pi = prob{(ci + ξ i ) ≤ (c j + ξ j )} 期望交通量： hi = q Pi , (i = 1,2) 用户在每日的实际交通选择过程中，反复进行两径路择一 的过程，假设用户始终按照使自己认识的交通费用最小而 选择行驶径路。反复这种选择过程，路网的交通流将达到 如下随机用户均衡状态： 所有的用户都相信自己的行驶费用不因为改变行驶径 路而减少。 随机用户均衡的概念拓展了 Wardrop 均衡的概念。
A
Var(hkrs ) = t rs Pkrs (1 Pkrs ) 径路交通量的方差：
Cov ( hkrs , hkrs ) = t rs Pkrs Pkrs ' ' 径路交通量的协方差：
2.随机用户均衡分配及其等价最优化问题 (1)最大熵费用调和模型
min Z = ∑ ∫
a∈ A xa 0
c a ( w)dw
1
θ
rs∈
t rs H rs (h rs ) ∑
s.t.
hkrs = t rs , rs ∈ ∑
k∈K rs
xa =
k∈K rs rs∈
∑ ∑δ
rs a ,k
hkrs , a ∈ A
hkrs ≥ 0, xa ≥ 0
其中， H
rs
(h ) ≡ ∑ P ln P = ∑
rs k∈K rs k rs k
第 6 节 系统最优化分配(System Optimum Assignment) 系统最优化分配按照 Wardrop 第二法则，即使得路 网中总行驶时间最小进行交通量分配。 该方法适用于最大限度地使用现有道路系统的场 合。从径路选择角度，该分配方法与用户均衡分配法 中用户一直选择时间上的最短径路不同，它有必要让 用户选择最短径路以外的径路。从此种意义上说，是 道路规划者或道路管理者所希望的分配原则，尤其在 智能交通系统获得广泛应用之后。
【随机用户均衡问题的建模】
rs rs rs k 的效用函数: U k = ck + ξ k ＯＤ对径路
rs c k 为径路 k 的费用，其值为径路经过路段的 这里，
c krs = ∑ t ij δ arsk . 费用和。
a∈ A
径路 k 的选择概率：
P
rs k
rs = Pr .U k ≥
max [U ]
∑
k ∈ K rs
h krs = t rs , rs ∈
xa =
∑
k∈K
rs
rs ∈
δ ars, k h krs , a ∈ A ∑
hkrs ≥ 0, xa ≥ 0
其中， E 为用实测交通量推测出的路网总行驶
费用值。
(3)费用积分最小模型
min Z =
∑ ∫
a∈ A
xa
0
c a ( w ) dw
s.t. ∑ t
rs∈
rs
H rs ( h rs ) ≥ H
∑h
k ∈K rs
rs k
= t rs , rs ∈
xa =
k ∈K rs rs∈
∑
δ arsk hkrs , a ∈ A ∑ ,
hkrs ≥ 0, x a ≥ 0
其中， H 为由实测交通量推算出的径路熵值。
径路交通量 h 由 Logit 模型决定：
结论： 因路网的结构不同，新线道路的建设反而恶化 道路原有的服务水平，这种现象在实际道路规划中 很有可能出现。
【作业】设图示交通网络的 OD 交通需求量为 t = 200 辆， 各径路的交通费用函数分别为：
c1 = 5 + 0.10 h1 ， c 2 = 10 + 0.025 h2 ，
c3 = 15 + 0.025h3
【计算步骤】 Step 0 利用 Dail 法、马尔科夫链法或 Monte Carlo simulation 求解初始可能解 xa0 。 令迭代计算次数 k = 0 ，路阻函数 c Step 1 更新路阻函数
k k ca = ca ( xa ), a ∈ A
0 a
= ca (0) ， a ∈ A
Step 2 下降方向搜索 利用 Dail 法、马尔科夫链法或 Monte Carlo simulation 求解实行可能解 y ak ，求出搜索方向
２ 1 ２
1 ３ ４
3
４
ＯＤ交通量： t13 = 600 辆
路阻函数：
t1 ( x1 ) = 50 + 0.01x1 （分） t 2 ( x2 ) = 0.1x2 （分）
t 3 ( x3 ) = 50 + 0.01x3
t 4 ( x 4 ) = 0 . 1x 4
解：利用用户均衡分配法和系统均衡分配法得， 径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的交通量：
Leabharlann Baidu
min
Z =
∑ ∫ {d [w c
xa a∈ A 0
a
( w ) ] / dw } dw
= ∑∫
a∈ A
xa
0
{ca (w) + w d [ca ( w)] / dw}dw
这样，系统最优化分配可以完全用用户均衡分配的解 法计算。
２．Braess 奇论（Paradox）
奇论：为提高路网的服务水平而制定的交通政策，在用 户均衡状态下反而导致服务水平的下降。
rs∈
hkrs hkrs ∑ t rs ln t rs k∈K
可以证明，该模型与 Logit model 等价（证明略） 。 由 以 上 模 型可 以 看 出 ， 该 种 随 机 用 户 均衡 模 型 为 Wardrop 均衡分配的一般情况。这是因为在该问题中， 当θ
→ +∞ 时，表示熵的项（目标函数中第二项）消失，
k k d = y a xa , a ∈ A 。
Step 3 一维搜索
α = 1/ k
Step 4 更新试行可能解
k k k k xa +1 = xa + α ( y a xa ) ， a ∈ A
Step 5 收敛判定 设ε为任意正小数，并且由下式决定。
ε=
k a
( x ak +1 x ak ) 2 / ∑ x ak ∑
【逐次平均法（method of successive averages） 】 逐次平均法是一种收敛计算方法求解最大熵费 用调和模型的方法，与 Frank-Wolfe 法类似，不同 的是搜索步长的决定方法。该方法不进行求解最佳 搜索步长的一维搜索，而是实现给定步长。原因是 最大熵费用调和模型中包含径路交通量变量。
a∈A a∈ A
1 k k k x ≡ ( x a + x a 1 + + x a m +1 ), a ∈ A, m 为既 m
定整数。
１． 【模型】
min ∑h s.t.
k∈K rs
Z = ∑ xa ca ( xa )
a∈ A
rs k
= t , rs ∈
rs
rs a ,k
xa =
rs k
k∈K rs rs∈
∑ ∑δ
h , a ∈ A
rs k
h ≥ 0, xa ≥ 0
该模型可以变换成下示与用户均衡分配模型相同的 形式。