机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案

1-1某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员

21x x ；

（2）建立数学模型的目标函数；

取检验费用为目标函数，即：

f (X )=8*4*x 1+8*3*x 2+2（8*25*0.02x 1+8*15*0.05x 2） =40x 1+36x 2

（3）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X )=40x 1+36x 2X ∈R 3·

s.t.g 1(X )=1800-8*25x 1+8*15x 2≤0

g 2(X )=x 1-8≤0 g 3(X )=x 2-10≤0

g 4(X )=-x 1≤0 g 5(X )=-x 2≤0

1-2已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d

x x x ][][2

32

1

==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数

3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；

取弹簧重量为目标函数，即：

f (X )=

322

12

4

x x rx π

（3）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X )=

32212

4

x x rx πX ∈R 3·

s.t.g 1(X )=0.5-x 1≤0

g 2(X )=10-x 2≤0

g 4(X )=3-x 3≤0 g 5(X )=[]τπ-+

3

12

218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X )=[]λ-4

1

3

3

28Gx x Fx ≤0 1-3某厂生产一个容积为8000cm 3

的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡h r x x 21高底面半径,

表面积为目标函数，即：

min f (X )=πx 12+2πx 1x 2

考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：

min f (X )=πx 12+2πx 1x 2

X =[x 1,x 2]T

∈R 2

s.t .g 1(X )=-x 1≤0

g 2(X )=-x 2≤0

h 1(X )=8000-πx 12x 2=0

1-4要建造一个容积为1500m 3

的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；

取总价格为目标函数，即：

f (X )=8(x 1x 3+x 2x 3)+6x 1x 2+12x 1x 2

（3）建立数学模型的约束函数；

1）仓库的容积为1500m 3

。即：

1500-x 1x 2x 3=0

2）仓库宽度为高度的两倍。即：

x 2-2x 3=0

3）各变量取值应大于0，即：

x 1>0,x 2.>0.，则-x 1≤0，-x 2≤0

（4）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X )=8(x 1x 3+x 2x 3)+18x 1x 2X ∈R 3·

s.t.g 1(X )=-x 1≤0

g 2(X )=-x 2≤0

h 1(X )=1500-x 1x 2x 3=0

h 2(X )=x 2-2x 3=0

1-5绘出约束条件：

82221≤+x x ；822

21≤+-x x ；421≤x x 所确定的可行域

1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：

1[132]T =X ;2[234]T =X ;3[414]T =X 。

第二章习题答案 2-1请作示意图解释：(1)

()()()k k k k α+=+X X S 的几何意义。

2-2已知两向量12[1

220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。

2-3求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。 2-4计算二元函数3

2

1121()56f x x x x =-+-X 在(0)

[11]T =X

处，沿方向[12]T =-S 的方向导数

(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。

2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为 求：

(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1

234f =X 、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (2)找出图上的无约束最优解1*

X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*X 和2()f *X ；

(3)若加入一个等式约束条件：

求此时的最优解3*

X ，

3()f *X 。

解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2。其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：

X 1*＝[3，4]T

函数值f (X 1*)=0。

而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：

⎩⎨

⎧=+-=-+0

10

52121x x x x ，解得X 2*=[2，3]。 函数值f (X 2

*

)=(2-3)2+(3-4)2=2。

加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立