泛函分析小论文

泛函分析论文
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。

在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。

学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。

§1 度量空间
§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ⨯→是满足下面条件的实
值函数，对于,x y X ∀∈，有
（1）(,)0d x y =当且仅当x y =；
（2）(,)(,)d x y d y x =；
（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，
则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子
例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当
1,(,)0,=x y d x y x y
≠⎧=⎨
⎩当当。

2、序列空间S ，i =1
i |-|1(,)21+|-|i i
i i d x y ξηξη∞
=
∑是度量空间
3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A
d x y x y ∈=是度量空间
4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b
d x y x y ≤≤=是度量空间
5、空间2
l ，122
=1
(,)[
(-)]
k
k
i d x y y x ∞
=∑是度量空间
§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果
{}n x 是(,)X d 中点列，如果
∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞
，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x
是点列{}n x 的极限。

同样的类似于n
R ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。

§1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令
M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，
称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

即
：
{},,.()n n M E x E x M s t x x n ⇔∀∈∃⊂→→∞在中稠密对
§1.3.3 例子
1、 n 维欧氏空间n
R 是可分空间；
2、 坐标为有理数的全体是n
R 的可数稠密子集； 3、
l ∞是不可分空间。

§1.4 连续映射 §1.4.1定义：设
(,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o o o X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈ 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对中一切满足 的 ，有 则称在连续。

§1.4.2 证明映射连续性的方法 1、 定义法
2、 邻域法：对o Tx 的每一个ε—邻域U,必有o x 的某个δ—邻域V 使
TV U ⊂, 其中TV
表示V 在映射T 作用下的像。

3、 极限观点（定理一）：, T ()n o n o T x x x Tx n ⇔→→→∞连续 则
4、 定理二:度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射 ⇔ Y 中任意开集
M 的原像1T M -是X 中的开集。

5、 定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。

§1.4.3 例题
例1、 设X,Y ,Z 为三个度量空间，
f
是X 到Y 中的连续映射，
g 是Y 到Z 的
连续映射，证明复合映射()()=((x))gf x g f 是X 到Z 的连续映射。

证明：设G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 的连续映射,
1g G -是Y 中开集，
又因f
是X 到Y 中的连续映射，
-11()f g G -是X 中的开集，
即-1(g
f)G 是X 中的开集，即(g f)连续。

【分析】此题就是利用定理二来证明的。

§1.5 柯西点列和完备度量空间 §1.5.1 定义：设(,)X
X d =是度量空间，
{}n x 是X 中点列，如果对0ε∀>，
∃正整数()N N ε=,使当,n m N >时，必有(,)n m d x x ε<，则称
{}n x 是X 中的柯西点列，如果度量空间(,)X d 中每个点列都在(,)
X d
中收敛，那么称(,)X d 是完备的度量空间。

§1.5.2 相关结论
1、Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列
3、柯西点列一定是有界点列
4、定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子空间。

（即完备性关于闭子空间具有可遗传性） 【注意】开子空间不完备。

例：1、[a,b]C 是完备度量空间； 2、2
l 是完备度量空间； 3、n
R 是完备的度量空间；
4、实系数多项式全体[,]P a b ，[,]P a b 作为[a,b]C 的子空间不是完备度量空间；
§1.6 度量空间的完备化
定理1 （度量空间的完备化定理）：设(,)X X d =是度量空间，那么一定存在一
完备度量空间(,)X X d =，使X 与X 的某个稠密子空间W 等距同构，并且X 在等距同构意义下是唯一的，即若(,)X d ∧
∧
也是一万倍度量空间，且X 与
X 的某个稠密空间等距同构，则(,)X d ∧∧
与(,)X d 等距同构。

（其中：若( , ) = ( , )d Tx Ty d x y ，称(,)X X d =与(,)X d 等距同构。

） 定理1可以通过图形象表达 (,)x d
W 稠密
定理'1 ：设(,)X
X d =是度量空间，那么存在唯一的完备空间(,)X X d =，
使X 为X 的稠密子空间。

§1.7压缩映射原理及其应用
§1.7.1定义：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果,01αα
∃<<，
.s t ,x y X ∀∈，(,)(,)d Tx Ty d x y α≤，则称T 是压缩映射。

§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，
那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx x =，有且只有一个解）。

定理2（隐函数存在定理）设函数
(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<∞
中处处连续，且处处有关于
y 的偏导数'(,)y f x y 。

如果∃常数m 和
M ，满足'0(,),y m f x y M m M <≤≤<，则方程(,)0f x y =在
区间
[,]
a b 上必有唯一的连续函数
()
y x ϕ=作为解：
(,())0,[,]f x x x a b ϕ≡∈
§1.8 线性空间
§1.8.1定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复
数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X ∀∈，均有1x x =，满足这样性质的集合X 称为线性空
间。

例：1、n
R 按自身定义的加法和数乘成线性空间
2、[a,b]C 按自身定义的加法和数乘成线性空间
3、空间(0)p
l p >按自身定义的加法和数乘成线性空间
§2 赋线性空间
§2.1赋线性空间和巴拿赫空间
§2.1.1定义：设X 是实（或复）的线性空间，如果对x X ∀∈，都有确定的一个实数，记为
x
与之对应，并且满足：
1o
0x ≥
，且0x =等价于0x =；
（非负性） 2o ||x x
αα=其中α为任意实（复）数；
3o ,,x y x y x y X +≤+∈，
（三角不等式）
则称
x 为向量x 的数，称X 按数x
成为赋线性空间。

注意：1、x 是x 的连续函数
2、||
||0(,)0n n x x d x x -→⇔→ （诱导距离）
§2.2重要结论：
1、完备的赋线性空间称为巴拿赫空间
⇔X 是赋线性空间，且{}n x 是柯西点列。

2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：
（1）是否为线性空间 （2）是否为赋线性空间 （3）是否完备
3、任何有限维赋线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋线性空间彼此拓扑同构。

（即拓扑同构⇔数等价）
4、定理1： [,](1)p L a b p ≥按数
1
(|()|)
b
p p
p
a
f
f t dt =⎰成赋线性空间。

定理2：[,](1)p L a b p ≥是巴拿赫空间。

例题：
1、n
R
按数
x =
2、空间[a,b]C 按数
max |()|a t b
x x t ≤≤=成巴拿赫空间
3、空间p
l 是巴拿赫空间 区别与联系：
1、任意赋线性空间都是度量空间
2、赋线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函 §1 有界线性算子和线性泛函的定义
§1.1定义：设X 和Y 是两个同为实（或复）的线性空间，D 是X 的线性子空间，
T 为D 到Y 中的映射，如果对,x y D ∀∈及数α，有()T x y Tx Ty +=+，
()T x Tx αα=，则称T 为D 到Y 中的线性算子，其D 称为T 的定义域，记
为()D T ，TD 称为T 的值域，记为()R T ，当T 取值于实（或复）数域时，就称T 为实（或复）线性泛函。

例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子
【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的；
2、n 维线性空间上线性泛函与数组12(,,
,)n ααα（向量）相对应。

定义：T 为赋线性空间X 的子空间()D T 到赋线性空间Y
中的线性算子，称
()
sup
x x D T Tx
T x ≠∈=为算子T 在()D T 上的数。

定理1： 设T 是赋线性空间X 到赋线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子
的充分必要条件是T 为X 上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。

定理2 ：设X 是赋线性空间，
f
是X 上线性泛函，那么
f
是X 上连续泛函的
充要条件为
f
的零空间()N f 是X 中的闭子空间。

相关结论：
1、若T 有界⇔T <∞
2、
T Tx T x <∞⇒≤
3、若T 有界⇒ Tx T
x ≤
§2 有界线性算子空间和共轭空间
定义：1、有界算子全体：设X 和Y 是两个赋线性空间，我们以()B X Y →表示
由X 到Y 中有界线性算子。

2、共轭空间：设X 是赋线性空间，令'X 表示X 上连续线性泛函全体所成的空间，称为X 的共轭空间。

定理1 当Y 是巴拿赫空间时，()B X Y →也是巴拿赫空间 定理2 任何赋线性空间的共轭空间是巴拿赫空间 相关结论：
1、1
l 的共轭空间为l ∞
有界序列全体，即1'()l l ∞=，但1()'l l ∞≠
2、,,n x X x X ∈∈且,',n
x x f X →∀∈则()(),n f x f x →其中f
连续
3、设(),()A B Z Y B B X Z ∈→∈→，令()()AB x A Bx =，x X ∈，则AB
为线性算子 4、(1)p
l
p <<+∞的共轭空间为q
l
，其中
111p q
+=，'()q p l l =，当2p = 时，2'
2()l
l =
1122
11
1,+=1)1 (),()2(), ()3 ()p p q q p L p p q L L L L L L L L L L ∞∞≠''==''=='=5、同样，也类似，（（） （） （）
6、X 是赋线性空间， 则dim X ∞⇔
（有限维）X<上的任意线性泛函均连续
总结：
在第七章中，我们只研究一个赋线性空间X ，而在第八章中，就开始研究从一个赋线性空间X 到另一个赋线性空间Y 中的映射——算子，并对两个赋线性空间构成的有界线性算子全体进行线性运算（加法运算及数乘运算），同样构成赋线性空间，并使得巴拿赫空间的知识进一步拓展到了有界线性算子全体。

总而言之，第七章和第八章的完成了“两大空间“的学习——度量空间和赋线性空间的学习。

应用篇
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究发展起来的。

它综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数算子和极限理论。

泛函分析在数学物理方程等分科中都有应用。

线性空间X 上的全体有界线性泛函X '称为X 的共轭空间. 现以δ函数为例,说明共轭空间的重要性. 设想在无限长的细棒上有一质量分布，只集中在一点0x
=处，总质量为1个，也就是说，有一假象密度函数()x δ ，当0
x ≠时，()0,x δ=，在0x
=处，密度为无限大，而密度函数的积分为总质量1：
()1x dx δ∞
-∞
=⎰
，这种函数已超出通常函数概念的框架。

δ函数是由物理学家狄拉克(Dirac)最先引进的,其表示式是
-0,0,
()()=1,0x x x dx x δδ∞∞
≠⎧=⎨∞=⎩⎰ ，
这样表示的函数与数学命题
=0.f a e , 则=0f ⎰矛盾,因此δ
函数的
上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力,在共轭空间中找到了
δ函数的位置和理论依据.我们来看数学家是怎样定义 δ函数的.
对C[ - 1, 1]中任意一个连续函数
()f t ,对应一个C[ - 1, 1] 的泛函
1
-1
()=()()f x f t x t dt ⎰ 线性性是显然的,现证其连续性.对任意的 C[ - 1, 1] ,有
1
00-1
1
0-1
-11
1
0-1
()-()| = | ()[()()]|
max |()()| |()|=||-|| |()|t f x f x f t x t x t dt x t x t f t dt
x x f t dt
≤≤-≤-⎰⎰⎰
000,||-||0()()x x x x f x f x →→→当即时，，故
f
在0x 点连续.由0x
的任意性知,
f
在C[ - 1, 1]上连续.
考察C[ - 1, 1]中的如下函数列n f :
2
1-||n , |t|n (t)=10, |t|>n n n t f ⎧≤⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
-n t 0 lim (t) = 0, (t) = 1n n f f dt ∞∞
→∞
≠⎰当 时， 且 ，设想
(t) n f 的
极限函数应当就是有广泛应用的 δ函数, 所以称 (t) n f 为δ的函数序列。

但由于在t= 0时, n lim
(t) n f →∞
不收敛,故不能采用 n lim (t) n f →∞
来作为δ函
数的数学定义.
在C[ - 1, 1]的共轭空间来考察. δ函数序列 (t) n f 对应于
-
- . - 总结资料- 1n 1n 1n 1n 1-1-2
-(t)= ()()= ()()1 =() (n-|t|n ) = (), ||<n n n f f t x t dt f t x t dt x dt x n ξξξ⎰⎰⎰
n n lim (x)=lim ()=(0)n n f x x ξ→∞→∞
→∞当时，, 即在C[ - 1, 1]的共轭空间中,
n f 的极限函数(记为δ ( t ) )应是C[ - 1, 1]上的如下泛函:
() = (0) , x [1,1]x x C δ∀∈-
因此在泛函分析的共轭空间的帮助下, δ函数有了严格的数学定义，这一点在原空间是不可能做到. 在定义了δ 函数后，我们就可以用δ 函数来描述很多物理现象,例如力学中瞬时发生作用力的冲击力;数字信号处理中的抽样脉冲;直线上质量集中在一点附近时的密度;电学中点电荷的密度等.
[参 考 文 献]
[ 1] 程其襄,奠宙, 闫革兴, 等. 实变函数与泛函分析基础[M] .:高等教育,
1983.
[ 2] Daube Chies I.小波十讲[M] .建平,万年译. : 国防工业, 2004.
[ 3] 石智,王军秋.泛函分析初步[M] .:科学技术, 2005.
[ 4] 龚怀云,寿纪麟, 王绵森, 等. 应用泛函分析[ M] .:交通大学, 1985.
[5] 石智,王军秋.结合小波理论讲授泛函分析课程[J] .大学数学，2009.。