学年高中数学153定积分的概念课件新人教A版选修

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• [分析] 由题目可获取以下主要信息：
• ①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、 下限明确；
• 解答本题可先根据积分的几何意义求出相 关函数的定积分，再根据定积分的性质进 行加减运算．
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• [解析] (1)如图，
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(3)取极限： b2dx＝linm→∞Sn＝linm→∞2(b－a)＝2(b－a).
a
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例2 1 (x33x)dx 1
• [分析] 由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－ 1，x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可 求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用 几何意义解决．
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(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －af(x)dx＝0. ②若偶函数 y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －ag(x)dx＝2ag(x)dx.
0
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画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面 积．
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• 1．定积分的概念
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• 定积分的性质①②称为定积分的线性性质．
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加
性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定
积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的定
积分去实现．
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[例 1] [分析]
＝n(n2＋1)2)
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因此1x3dx＝14. 0
• [点评] 求定积分的四个步骤：分割、近似 代替、求和、取极限，关键环节是求 和．体现的基本思想就是先分后合，化曲 为直，通过取极限，形成整体图形的面 积．
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利用定积分的定义求b2dx 的值． a
[解析] 令 f(x)＝2.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们
此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
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(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2
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• 1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分法 是任意的，不一定是等分，只要保证每一 个小区间的长度都趋向于0就可以，采用 等分的方式是为了便于作和．
• ②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定 积分的定义计算定积分时为了方便，常把
ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．
• 2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝
(1)分割：
在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a，
b]等分成 n 个小区间a＋(b－an)(i－1)，a＋(b－n a)i (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－n a.
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(2)近似代替、作和： 取 ξi＝a＋(b－n a)i(i＝1,2，…，n)，
则 Sn＝i＝n1fa＋(b－n a)i·b－n a＝i＝n1 2(b－ n a)＝2(b－a)．
• 1．5.3 定积分的概念
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• 通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程， 了解定积分的背景，借助于几何直观体会 定积分的基本思想，了解定积分的概念， 能用定义求简单的定积分．
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• 本节重点：定积分的定义与性质． • 本节难点：定积分定义的理解．
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[点评] 求定积分时应注意利用定积分的性质及几何
意义．
(1)定积分的性质的推广
①b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
②bf(x)dx＝ f(x)dx＋ a
cc12f(x)dx＋…＋ f(x)dx(其中 n∈N＋)．
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• 一、选择题
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边 梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区 间为 ( )
• [解析] ∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象 关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与 在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
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• [点评] 当曲边梯形在x轴下方时，积分值 为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积 分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x 轴所围成图形的面积的代数和．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5. (2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.
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[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S，则S＝5|sinx|dx 2
或S＝πsinxdx＋5(－sinx)dx
2πຫໍສະໝຸດ ＝πsinxdx－5πsinxdx. 2
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• [解析] (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及 y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
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(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y ＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下 方的面积，
∴ (3x＋1)dx ＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2 ＝530－23＝16.
b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面
积．从定积分的几何意义不难理解定的积
分性质，即曲边梯教形学p面pt 积的和与差．
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3．当 f(x)在区间[a，b]上 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含 a
义是什么？ 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
a
f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围成的图形的面积的相反数．
求1x3dx. 0
这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
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[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.