【志鸿优化设计】2014高中数学选修4-4

������ ������
目录
退出
课堂合作探究
目录
退出
问题导学
一、圆的极坐标方程 活动与探究 1 从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方 程并把它化为直角坐标方程. 思路分析:可利用平面几何知识也可利用代入法.
目录
退出
解:方法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.
0, 2 为圆心、2
������
������
目录
退出
2.(2013 高考天津卷,理 11)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为 C,点 P 的极坐标为 4, 3 ,则|CP|=
π
.
答案:2 3 解析:由圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,得圆心 C 的直角坐标为(2,0),点 P 的直角坐标为(2,2 3),所以|CP|=2 3.
目录 退出
3π
圆心坐标为 C(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的极坐标方程为 2 2 ρ2-2ρ0cos(θ-θ0)ρ+������0 -r =0.特别地,若圆心为 C(r,0),则 ρ=2rcos θ;圆心 为 C ������,
π 2
,则 ρ=2rsin θ;圆心为 C(r,π),则 ρ=-2rcos θ;圆心为 C ������,
目录
退出
在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:在直线上设 M(ρ,θ)为任意一点,连接 OM,构造出含有 OM 的三角形,再利用三角 形知识求|OM|,即把|OM|用 θ 表示,这就是我们所需求的 ρ 与 θ 的关 系,即为直线的极坐标方程,也可先求出直角坐标方程,再变换为极坐 标方程.
目录
ρcos θ=2,故选 B.
目录
退出
迁移与应用 3 求过(-2,3)点,且斜率为 2 的直线的极坐标方程. 解:由题意可知,直线的直角坐标方程为 y-3=2(x+2), 即 2x-y+7=0.设 M(ρ,θ)为直线上任意一点, 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 2x-y+7=0 得 2ρcos θ-ρsin θ+7=0. 故所求的极坐标方程为 2ρcos θ-ρsin θ+7=0.
������2 sin2������ 2 2 即 =1,则 ρ = . 2 sin2������
(3)∵ 2x2-3y2=4, ∴ 2(ρcos θ)2-3(ρsin θ)2=4. ∴ 2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=4,2ρ2-5ρ2sin2θ=4, 则 ρ2=
4 . 2-5sin2 θ
目录
退出
则有|OM|=ρ,|OP|=2,∠xAM= 4 ,∠OPM=2,∠MOP=θ-4, 所以有|OM|cos ∠MOP=|OP|,即 ρcos ������- 4 =2, 显然 P 点也在这条直线上. 所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos
π ������- 4 π
3π
π
π
=2.
目录 退出
迁移与应用 2 (2013 高考安徽卷,理 7)在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 的垂直于极 轴的两条切线方程分别为( ). A.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=2 B.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=2
3π 7π 3π 7π
综上所述,直线 x+y=0 的极坐标方程为 θ= 4 (ρ≥0)和 θ= 4 (ρ≥0)
3π θ= 4 (ρ∈R)或 7π θ= 4 (ρ∈R).
目录 退出
或
(3)∵ ρ=9(sin θ+cos θ), ∴ ρ2=9ρ(sin θ+cos θ), ∴ x2+y2=9x+9y, 即
目录 退出
4.求过点 A(2,0),并且垂直于极轴的直线的方程. 解:如图,设 M(ρ,θ)为直线上除 A(2,0)外的任意一点,连接 OM,则有 △AOM 为直角三角形,并且∠AOM=θ,|OA|=2,|OM|=ρ,
∴ |OM|cos θ=|OA|,即 ρcos θ=2, 显然当 ρ=2,θ=0 时,也满足方程 ρcos θ=2, ∴ 所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=2.
π π
C.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=1 答案:B
目录 退出
解析:由题意可知,圆 ρ=2cos θ 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,再将两 条切线方程化为极坐标方程分别为
π θ=2(ρ∈R)和
3π 2
,
则 ρ=-2rsin θ.
目录
退出
二、直线的极坐标方程 活动与探究 2
设P
π 2, 4
,直线 l 经过 P
3π 点且与极轴所成的角为 4 ,求直线
l的
极坐标方程. 思路分析:取直线上任意一点 M(ρ,θ),构造三角形求|OM|.
目录
退出
解:如图,设 M(ρ,θ)为直线 l 上除 P 点外的任意一点,连接 OM,OP,该直线交 Ox 于点 A,
三
简单曲线的极坐标方程
目录
退出
课前预习导学
目录
退出
目标导航
学习目标 1.会写过极点的直线方程和圆心在极点的 圆的方程. 2.熟练掌握和运用过极点且圆心在极轴或 在(ρ,θ)处的圆的极坐标方程. 3.运用极坐标方程解一些与圆有关的几何 问题,进而体会极坐标方程的方便之处. 4.深入理解并熟练运用平面上点的极坐标 (ρ,θ),并理解平面曲线的极坐标方程 ρ=ρ(θ) 的含义. 1.写出过极点的直线的 方程和圆心在极点的圆 的方程 2.圆和直线的极坐标方 程的应用 重点难点
∵ M 为弦 ON 的中点, ∴ CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上. ∴ 动点 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ. ∵ ρ2=4ρcos θ,∴ x2+y2=4x, 故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.
目录
退出
方法二:设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1). N 点在圆 ρ=8cos θ 上, ∴ ρ1=8cos θ1(*).∵ M 是 ON 的中点, ∴ ������1 = 2ρ, 将它代入(*)式得 2ρ=8cos θ, ������1 = θ,
目录
退出
5.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化. (1)x2+y2-2x=0; (2)xy=1; (3)2x2-3y2=4; (4)ρcos ������- 6 =1; (5)ρ=cos θ-2sin θ; (6)ρ2=cos2θ.
π
目录
退出
解:(1)∵ x2+y2-2x=0, ∴ ρ2-2ρcos θ=0.∴ ρ=2cos θ. (2)∵ xy=1,∴ ρcos θρsin θ=1,ρ2sin θcos θ=1,
(2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 直接代入求解.
目录
退出
解:(1)极坐标方程可化为 ρ=cos2 θ,∴ ρcos2θ=4sin θ. 当 θ=kπ,k∈Z 时,ρ=0,极点在曲线上. 又∵ ρ2cos2θ=4ρsin θ,故 x2=4y 为其直角坐标方程.
������2 (2)∵ ������2
4sin������
+
������2 ������
2 =1
表示椭圆,
������ ������
设其半焦距为 c,∴ a2=b2+c2,e= . 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入方程,得 b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即 ρ=
2
������2 ������
2
2
������
目录
退出
解:(1)∵ x2+(y-2)2=4,∴ x2+y2=4y, 代入 x=ρcos θ,y=ρsin θ 得 ρ2-4ρsin θ=0, 即 ρ=4sin θ. (2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x+y=0,得 ρcos θ+ρsin θ=0,∴ ρ(cos θ+sin θ)=0, ∴ tan θ=-1,∴ θ= 4 (ρ≥0)和 θ= 4 (ρ≥0).
目录
退出
预习导引
1.圆的极坐标方程 (1)曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标适 合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C 的极坐标方程. (2)常见圆的极坐标方程: ①圆心位于极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r; ②圆心位于 C(a,0)(a>0),半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ; ③圆心位于 C ������, 2 (a>0),半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ.
cos2 θ+������2(1-cos2 θ)
=
������2 ������ ������2 -������2 cos2 θ
2
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������ . 1-������2 cos2 θ
2
2
∴ 以椭圆中心为极点的极坐标方程为 ρ
������ = 2 2 . 1-������ cos θ
目录 退出
2
迁移与应用 4 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化: (1)x2+(y-2)2=4; (2)x+y=0; (3)ρ=9(sin θ+cos θ); (4)ρ=4.
(4)∵ ρcos
π ������6
=1,
π ∴ ρcos θcos6+ρsin
π θsin6=1.
目录
退出
当堂检测
1.如图,极坐标方程 ρ=asin θ(a>0)所表示的曲线的图形是( ).
答案:C
退出
目录
解析:如果没有记住它的图形,不妨化为直角坐标方程.ρ=asin θ, ρ =ρasin θ,x +y =ay,x + 为半径的圆.
2 2 2 2
������ 2 ������- 2
=
������2 ,图形显然是以 4
目录 退出
π
2.直线的极坐标方程 (1)过极点,从极轴到直线 l 的角为 θ0,直线 l 的极坐标方程为 θ=θ0(ρ∈R); (2)过点 A(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ=a; (3)过点 P(ρ1,θ1)且与极轴所成的角为 α 的直线 l 的极坐标方程 为 ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1). 3.极坐标方程与直角坐标方程的互化 利用极坐标与直角坐标的互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ, ρ2=x2+y2,tan θ= (x≠0).
退出
三、直角坐标方程与极坐标方程的互化 活动与探究 3
(1)化极坐标方程 ρ= cos������ 为直角坐标方程;
������2 ������2 (2)化直角坐标方程������2 + 2 =1 ������ 4tan������
为极坐标方程.
思路分析:(1)先把 tan θ 化成
sin������ ,再利用互化公式求解; cos������
目录
退出
3.写出圆心在点 P(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的极坐标方程. 解:如图,设 M(ρ,θ)为圆上任意一点,在△OMP 中,由余弦定理得 |PM|2=|OM|2+|OP|2-2|OM||OP|cos∠MOP,
2 ∴ r2=ρ2+������0 -2ρρ0cos(θ-θ0).
这就是所求的圆的极坐标方程.
故 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ. ∵ ρ2=4ρcos θ,∴ x2+y2=4x, 故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.
目录
退出
迁移与应用 1 求圆心在 A 直角坐标方程.
3π 2, 2
,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为
目录
退出
解:如图,设 M(ρ,θ)为圆上除 O,B 外的任意一点,连接 OM,MB,
3π π 则有|OB|=4,|OM|=ρ,∠MOB=θ- 2 ,∠BMO=2,
从而△BOM 为直角三角形, 所以有|OM|=|OB|cos ∠MOB, 即 ρ=4cos ������- 2 =-4sin θ, 故所求圆的极坐标方程为 ρ=-4sin θ, ∴ x2+y2=-4y,即 x2+(y+2)2=4 为所求圆的直角坐标方程.
9 2 ������- 2
+
9 2 ������- 2
= 2.
81
(4)∵ ρ=4,∴ ρ2=42, ∴ x2+y2=16.
目录
退出
(1)化曲线的极坐标方程为直角坐标方程时,要注意两种方程的 等价性. (2)当极坐标方程中含有 sin θ,cos θ 时,将方程两边同乘以 ρ,凑成 含有 ρsin θ,ρcos θ 的项,然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程, 此法是常用方法. (3)化直角坐标方程为极坐标方程时,要注意确定极角的范围.