电路分析二阶电路

第七章 二阶电路
作业 7-4 7-8
练习 7-2 7-5
1 二阶网络：所列的电路方程是二阶微分方 程或用两个一阶微分方程联立。一阶电路只 有一个储能元件，只储存一种能量。二阶电 路有两个储能元件，既储存磁场能量，又储 存电场能量。
2 典型电路：L与C串联
L与C关联
3 响应形式：零输入响应
零状态响应
4. R = 0
S1、S2为两个不相等的负实数
S1、S2为两个相等的负实数
S1 、S2为共轭复数 S1 、S2为共轭虚数
一．(
R 2L
)2
＞
1 LC
s1
=-
R 2L
+
(
R 2L
)2 -
1 LC
= -a1
s2
=
-
R 2L
-
(
R 2L
)2 -
1 LC
= -a2
a2 > a1
解的形式 uC(t) = K1e s1t + K2es2t
e-2x - e-4x)
t 0
= 2 + 4(
uL= L ddtiL=
-
LC
d2uc dt 2
LC
d2uC dt2
+ uC =
0
特征方程 LCS2 + 1 = 0
特征根
S1、2=±j
1 LC
=±jw0
解的形式 uC(t) = K1cosw0t + K2sinw0t
由 uc(0)=K1=U0
uC(t) = U0cosw0t
Uc’(0+) =ic(0+)/C =-iL(0)/C=0
LCS2 + RCS + 1 = 0 特征方程 特征方程的根（固有频率）
- RC± (RC)2 - 4LC
S1、2=
2LC
=-
R 2L
±
(
R 2L
)2 -
1 LC
R、L、C 取值不同，根号里的值有四种不同情况。
1. (
R 2L
)2
＞
1 LC
2. (
R 2L
)2 ＝
1 LC
3. (
R 2L
)2
＜
1 LC
初始条件
uC(0) = K1 + K2 = 2
| duC
dt
t=0+ = -2K1 – 4K2 =
iL(0) C
=4
K1 = 6 K2 = -4
uC(t) = 6e-2t - 4e-4t V t≥0
uC 6
iL(t)
=
iC(t)
=
C
duC dt
= -3e-2t + 4e-4t t≥0
i
4
2 1
0
t0
RC
uC(0)、iL(0) 中有一个不为零
u’C(0+)可求
LC
duC dt
+
LC
d2uC dt2
+ uC =0
d2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC
=0
解的形式 uC(t) = Kest 代入方程 LCS2Kest + RCSKest + Kest = 0
LCS2 + RCS + 1 = 0 特征方程
K2 =iLC(0)+ auC(0)
uC(t)
=
uC(0)e-a
t
+
[
iL(0) C
+
a
uC(0)]te-a
t
={uC(0) + [
iL(0) C
+ auC(0)]t}e-a t
无振荡衰减，临界阻尼
补充 图示电路中t≥0时
例1．uS = 0
C=
1 4
F
R = 3
L
=
1 2
H
uC(0) = 2V iL(0) = 1A
完全响应
§ 7-1 LC电路的正弦振荡
iL
+
C
uC
-
已知 uC(0) = U0 iL(0) = 0 L
物理分析（自己看）： 初始时刻
i=0
uC = U0
iL = 0
+ C uC=U0
L
∵uL= uC = U0 ≠0
-
∴
di dt
≠0
电流开始上升i↑, 电容开始放电uC↓
i= I + C uC= 0 -
解的形式 uC(t) = K1e-at + K2te-at
= (K1 + K2t )e-at
| 由初始条件 ① uC t=0 = K1 K 1 = uC(0)
| | 由②
duC dt
t=0+ = [K2e-at – a(K1 + K2t)e-at ] t=0+ = K2–aK1
=
iC(0+) C
=
iL(0) C
uC = 0 uL = 0
di dt
=0
L 电流最大 i=I
电容储存的电场能量全部转入电感储存磁场能量
因为电感电流不能跃变
电感开始放电i↓,电容开始反向充电|uC |↑
i= 0 C uC’ = U0 +
L i = 0 uC= -U0
磁场能量全部转成电场能量 因为uC不能跃变，电容放电|uC |↓，| i |↑
-
求出uL(0+) = -31-2 = -5V
由
K1 ’ + K2 ’ = 1 -2K1 ’ - 4K2 ’ = -10
得
K1 ’ = -3 K2 ’ = 4
t = 0+
iL(t) = -3e-2t - 4e-4t A， t≥0
| uC(t) = uC(0) +
1
C
t
∫ 0i
dx
= 2 + 4(
3 2
+u-SiL R
求 uC(t)及iL(t) t≥0
解： 对于RLC串联电路，不必列微分方程
(
R 2L
)2>
1百度文库LC
s1、2 = -
R 2L
±
(
R 2L
)2 -
1 LC
= -3± 9-8
LuC+ -
C
= -3±1
s1 = - 2 s2 = - 4
uC(t) = K1e-2t + K2e-4t 由初始条件可求出K1和K2
t
-3 -4
iL(t)的另一求法（练习）：
已求出 s1 = -2 ， s2 = -4 则：iL(t) = K1’e-2t + K2’e-4t
初始条件
1A
iL(0) = K1’ + K2’= 1
| diL
dt
uL(0+) t=0+ = -2K1 ’ - 4K2 ’ = L
+ uL(0+) - +
3
2V
= K1e -a1 t + K2e-a2 t
初始条件
K1+ K2 = uC(0)
K1、K2
- a1K1 - a2K2 =
iC(0+) C
=
iL(0) C
uC(t) = K1e -a1t + K2e -a2 t
响应是非振荡性的衰减，过阻尼
二．(
R 2L
)2
＝
1 LC
S1 = S2 = -
R 2L
= -a
得 K1 =U0
K2=0
i(t) =Cω0U0sinw0t
uC
i
0
t
0
t
LC电路的零输入响应是按正弦方式变化的等幅振 荡，叫自由振荡。
R
C
L
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ iL R - uS=0
L
+
C uC -
uR+uL+uC = uS=0
Ri L+L
diL dt
+ uC =
0
已知初始条件：
i’= I
-
C uC= 0
L
+
uC = 0 i’= I
电场能量全部转成磁场能量|uC |↑，| i |↓
i’= 0
C
+u-C= U0
L
uC = U0 i’ = 0
磁场能量全部转为电场能量，电路回到初始时
刻的状态
数学分析：
+
C
uC
iC -
iL +
L uL -
uL-uC =0
iL =
-C
duC dt