高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法

本章节处理方法建议：

纵观2011年全国各省市18套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一

半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一

半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与

几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向

量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合

能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”

的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有

时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

~

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很

大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题

较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻

下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就

能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几

分算几分。

三、高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

，

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2

2

21-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

—

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 12

1221-=，x y 22222

1-=。 两式相减得

()()()()x x x x y y y y 1212121212

0+--+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得

22201212

x y y y x x ---=·。 又k y y x x y x =--=--121212

， 代入得24022x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是24022

x y x y --+=

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

]

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β

αβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得r r c 122sin sin sin()

αβαβ==+。 得 r r c 122++=+sin sin sin()

αβαβ， β

αβαsin sin )sin(++==a c e （2）()()a ex a ex a ae x ++-=+3332226。

当x =0时，最小值是23a ；

当a x ±=时，最大值是26323

a e a +。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()()

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为114

：x p =-- 由直线x+y=t 与x 轴的交点（t ，0）在准线右边，得 t p t p >--

++>14440，而 #

由消去得x y t y p x y +==+⎧⎨⎩21()

x t p x t p 2220-++-=()() ∆=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440

故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)

∴+=+=-x x t p x x t p 121222，

OA OB k k OA OB ⊥∴⨯=-，1

则x x y y 12120+=

又y y t x t x 1212=--()()

∴+=-+=x x y y t t p 1212220()

∴==+p f t t t ()2

2

@

又，得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-⋃+∞200，，

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

典型例题

已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p

（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L 的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得：设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A